Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando a técnica de separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, especificamente aquelas que podemos resolver separando as variáveis envolvidas (neste caso,
e
). Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração e separar as variáveis
e
:
Isso nos dá:
Para separar as variáveis, vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas são os termos que temos:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
para deixar a resposta na forma explícita. Multiplicando ambos os lados por 2:
onde
(pode ser renomeada porque
é qualquer constante).
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados para isolar :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados para isolar
Finalmente, dividindo por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.