Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
e^t+y y^prime=e^2 t-y .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial e^t+y y' = e^2t - y usando a técnica de separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, especificamente aquelas que podemos resolver separando as variáveis envolvidas (neste caso, t e y ). Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de modo que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com t fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y' na equação. A equação original é:
e^t+y y' = e^2t - y
Dividindo ambos os lados por e^t+y para deixar y' sozinho:
y' = e^2t - ye^t + y

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração e separar as variáveis y e t :
y' = e^2t - y - t - y = e^t - 2y
Isso nos dá:
dydt = e^t - 2y
Para separar as variáveis, vamos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com t do outro:
e^2y dy = e^t dt

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas são os termos que temos:
integral e^2y dy = integral e^t dt
Integrando:
12 e^2y = e^t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para y para deixar a resposta na forma explícita. Multiplicando ambos os lados por 2:
e^2y = 2 e^t + C'
onde C' = 2C (pode ser renomeada porque C é qualquer constante).
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados para isolar y :
2y = ln(2 e^t + C')
Finalmente, dividindo por 2:
y = 12 ln(2 e^t + C')

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12 ln(2 e^t + C)
onde C é uma constante arbitrária.

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