Use a técnica de substituição simples para calcular as seguintes integrais.
\int \frac{\operatorname{cosec}^{2} x}{1+\operatorname{cotg} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\csc^{2}x}{1+\cot x}\,dx
usando substituição simples. O conteúdo principal aqui é reconhecer que a derivada de \cot x envolve \csc^{2}x, então vamos definir a substituição
u = \cot x.

Passo 2

Calculamos a diferencial de u. Como
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\csc^{2}x,
temos
du = -\csc^{2}x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc^{2}x\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int \frac{\csc^{2}x}{1+\cot x}\,dx = \int \frac{-\,du}{1+u} = - \int \frac{du}{1+u}.

Passo 4

A integral de 1/(1+u) é o logaritmo natural:
- \int \frac{du}{1+u} = -\ln\bigl|1+u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, onde u=\cot x, obtemos
- \ln\bigl|1+\cot x\bigr| + C.

Resposta

- \ln\bigl|1+\cot x\bigr| + C

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