Use a técnica de substituição simples para calcular as seguintes integrais.
\int_{0}^{\pi / 8} \operatorname{tg}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/8}\operatorname{tg}(2x)\,dx
usando substituição simples. Vamos precisar da primitiva de \operatorname{tg}u e da troca de variável u=2x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 2x, \quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Mudando os limites: quando x=0, u=0; quando x=\pi/8, u=\pi/4. Então
\int_{0}^{\pi/8}\operatorname{tg}(2x)\,dx = \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{tg}(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{tg}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{tg}(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
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\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{tg}(u)\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-\ln\bigl|\cos(u)\bigr|\Bigr]_{0}^{\pi/4}.

Passo 5

Avaliaremos o colchete:
-\ln\bigl|\cos(\pi/4)\bigr| - \bigl(-\ln\bigl|\cos(0)\bigr|\bigr) = -\ln\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) + \ln(1) = -\bigl(-\tfrac12\ln(2)\bigr) = \tfrac12\ln(2).
Multiplicando por \tfrac12 obtém–se
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(2) = \frac{1}{4}\ln(2).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln(2)

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