Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
y^prime(x)=x / y(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem y′(x)=x/y(x). Isso é um caso clássico de equação separável, e para resolvê-la vamos usar as técnicas de separação de variáveis e integração indefinida.

Passo 2

Primeiro isolamos as variáveis y e x em lados opostos. Como y′(x)=dy/dx, temos
dydx=xy
Multiplicando ambos os lados por y dx, obtemos
$$
y,dy=x,dx,$$
o que separa completamente y e x.

Passo 3

Agora aplicamos a integração indefinida em cada lado. Integramos y dy no lado esquerdo e x dx no lado direito:
integral y,dy=integral x,dx
Fazendo as integrais,
y^22=x^22+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos tudo por 2 para simplificar e definimos uma nova constante C′=2C. Assim,
$$
y2=x2+C′. y^2=x^2+Cíàçãçã
y(x)=\pm\sqrt{x^2+C′}.$$

Passo 5

Podemos renomear a constante C′ simplesmente como C (já que todo o objetivo é representar uma família de curvas), ficando a solução final como y(x)=±√(x²+C).

Resposta

y(x)=pmraizx^2+C, em que C é a constante de integração.

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