Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é sobrejetora.
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação “Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{5} \to \mathbb{R}^{3} é sobrejetora” é verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
O enunciado considera qualquer transformação linear T cujo domínio é \mathbb{R}^{5} e contradomínio é \mathbb{R}^{3}.
Não há informação extra sobre T (pode ser qualquer transformação linear).
A pergunta é uma afirmação universal: vale para toda transformação linear dessa forma?
Passo 2
Definição e objetivo: explicar o que significa “sobrejetora” e quais quantidades vamos comparar.
A transformação linear T é sobrejetora se a imagem de T é todo o contradomínio, isto é, se \operatorname{im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
Em termos de dimensões, isso equivale a exigir que \dim(\operatorname{im}(T))=\dim(\mathbb{R}^{3})=3.
Vamos usar a relação que liga as dimensões do domínio, núcleo e imagem para restringir \dim(\operatorname{im}(T)).
Passo 3
Enunciado do teorema do núcleo e da imagem (fórmula e interpretação).
Para qualquer transformação linear T: V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale a identidade chamada teorema do núcleo e da imagem:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=\dim(V).
Aqui \ker T=\{v\in V:\;T(v)=0\} é o núcleo (ou núcleo) e \operatorname{im} T=\{T(v):\;v\in V\} é a imagem. \dim(\ker T) é às vezes chamada de nulidade e \dim(\operatorname{im} T) de posto (rank).
No nosso caso V=\mathbb{R}^{5}, então a fórmula fica
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=5.
Passo 4
Consequências numéricas e condição para ser sobrejetora.
Para que T seja sobrejetora precisamos de \dim(\operatorname{im} T)=3.
Pela identidade do passo anterior isso implica
\dim(\ker T)=5-\dim(\operatorname{im} T)=5-3=2.
Ou seja, uma transformação T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3 é sobrejetora exatamente quando seu núcleo tem dimensão 2.
Contudo nada no enunciado garante que o núcleo de T tenha dimensão 2; a dimensão do núcleo pode ser 0,1,2,3,4 ou 5 desde que some com a dimensão da imagem para dar 5. Em particular \dim(\operatorname{im} T) pode ser menor que 3.
Passo 5
Exemplo concreto que contradiz a afirmação (contraexemplo simples).
Considere a transformação linear nula T_0:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} dada por T_0(x)=0 para todo x\in\mathbb{R}^{5}.
Representação matricial: a matriz 3\times5 toda zeros
Para essa transformação temos \operatorname{im}(T_0)=\{0\}, portanto \dim(\operatorname{im}(T_0))=0 e \dim(\ker T_0)=5. Claramente \operatorname{im}(T_0)\neq\mathbb{R}^{3}, logo T_0 não é sobrejetora.
Como o enunciado dizia “toda transformação linear”, bastou encontrar uma transformação linear (o exemplo acima) que não é sobrejetora para concluir que a afirmação universal é falsa.]
Passo 6
Complemento didático rápido (para fixar a ideia).
Existem transformações T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3 que são sobrejetoras: por exemplo a matriz
tem posto 3 e portanto define uma transformação sobrejetora. Mas isso mostra apenas que algumas são sobrejetoras, não que todas o são.
Resumo da estratégia usada: usar o teorema do núcleo e da imagem para ver que a sobrejetividade exige uma condição específica sobre \dim(\ker T), e exibir um contraexemplo (mapa nulo) que viola a condição.]