Use um teorema apropriado para mostrar que o conjunto W dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
[la b c d]: la-2 b=4 c 2 a=c+3 d

Passo 1

O enunciado define
W = l,(a,b,c,d)^TinR^4 mid a - 2b = 4c,;2a = c + 3dr
e pergunta se W é um subespaço vetorial de R^4. O conteúdo é teoria de subespaços e o teorema-chave é: “o conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo A x = 0 é um subespaço”.

Passo 2

Reescrevemos as duas condições como um sistema homogêneo:
Isso equivale a
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Passo 3

Sabemos que ker(A) é sempre um subespaço de R^4, pois:
  1. A,0 = 0 implica 0inker(A);
  2. se u,vinker(A) então A(u+v)=Au+Av=0+0=0;
  3. se uinker(A) e alphainR então A(alpha u)=alpha,Au=0.
    Portanto W é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém o vetor nulo.

Resposta

W é um subespaço vetorial de R^4.

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