Use um teorema apropriado para mostrar que o conjunto dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
Passo 1
O enunciado define
W = l,(a,b,c,d)^TinR^4 mid a - 2b = 4c,;2a = c + 3dr
e pergunta se W é um subespaço vetorial de R^4. O conteúdo é teoria de subespaços e o teorema-chave é: “o conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo A x = 0 é um subespaço”.
Passo 2
Reescrevemos as duas condições como um sistema homogêneo:
Isso equivale a
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Passo 3
Sabemos que ker(A) é sempre um subespaço de R^4, pois:
A,0 = 0 implica 0inker(A);
se u,vinker(A) então A(u+v)=Au+Av=0+0=0;
se uinker(A) e alphainR então A(alpha u)=alpha,Au=0.
Portanto W é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém o vetor nulo.