onde é a superfície exterior do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular uma integral de superfície sobre um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Basicamente, a matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície a integrais de volume. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência e calcular a integral de volume correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial suave em um volume com fronteira :
Onde é a divergência de .
No nosso caso, a integral de superfície dada é:
Podemos interpretar isso como a integral do campo vetorial sobre a superfície .
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Onde , e .
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:
Passo 4
Com a divergência calculada, agora aplicamos o Teorema da Divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume:
Agora precisamos definir os limites de integração para o volume que é o tetraedro limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano .
Passo 5
Vamos descrever os limites de integração. No tetraedro, para cada fixo, varia de 0 a , e para cada fixo, varia de 0 a . Portanto, os limites são:
Passo 6
Agora, configuramos a integral tripla:
Vamos integrar passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^3 - z (1 + 3 z)(3 - z - x) , dx
Vamos expandir e integrar termo a termo:
(1 + 3 z)(3 - z) integral0^3 - z dx - (1 + 3 z) integral0^3 - z x , dx
Calculando as integrais:
(1 + 3 z)(3 - z)(3 - z) - (1 + 3 z) (3 - z)^22
= (1 + 3 z)(3 - z)^2 - 1 + 3 z2(3 - z)^2
= 12(1 + 3 z)(3 - z)^2
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a z:
integral0^3 12(1 + 3 z)(3 - z)^2 , dz
Para resolver essa integral, podemos expandir o polinômio:
(1 + 3 z)(9 - 6 z + z^2) = 9 + 27 z - 6 z + 18 z^2 + z^2 + 3 z^3 = 9 + 21 z + 19 z^2 + 3 z^3