Use o Teorema da Divergência para calcular
integral duplaS(x+y) d x d y+y z d z d x+z^2 d x d y
onde S é a superfície exterior do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+ y+z=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular uma integral de superfície sobre um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 3. Basicamente, a matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície a integrais de volume. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência e calcular a integral de volume correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial F suave em um volume V com fronteira S:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde nabla cdot F é a divergência de F.
No nosso caso, a integral de superfície dada é:
integral duplaS (x + y) , dx , dy + y z , dz , dx + z^2 , dx , dy
Podemos interpretar isso como a integral do campo vetorial F = lang<= x + y, y z, z^2 rang<= sobre a superfície S.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = x + y, Fy = y z e Fz = z^2.
Calculando cada derivada:
partial Fxpartial x = partial (x + y)partial x = 1
partial Fypartial y = partial (y z)partial y = z
partial Fzpartial z = partial (z^2)partial z = 2 z
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 1 + z + 2 z = 1 + 3 z

Passo 4

Com a divergência calculada, agora aplicamos o Teorema da Divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (1 + 3 z) , dV
Agora precisamos definir os limites de integração para o volume V que é o tetraedro limitado pelos planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 e pelo plano x + y + z = 3.

Passo 5

Vamos descrever os limites de integração. No tetraedro, para cada z fixo, x varia de 0 a 3 - z, e para cada x fixo, y varia de 0 a 3 - z - x. Portanto, os limites são:
0 <= z <= 3
0 <= x <= 3 - z
0 <= y <= 3 - z - x

Passo 6

Agora, configuramos a integral tripla:
integral triplaV (1 + 3 z) , dV = integral0^3 integral0^3 - z integral0^3 - z - x (1 + 3 z) , dy , dx , dz
Vamos integrar passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^3 - z - x (1 + 3 z) , dy = (1 + 3 z) y g|0^3 - z - x = (1 + 3 z)(3 - z - x)

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^3 - z (1 + 3 z)(3 - z - x) , dx
Vamos expandir e integrar termo a termo:
(1 + 3 z)(3 - z) integral0^3 - z dx - (1 + 3 z) integral0^3 - z x , dx
Calculando as integrais:
(1 + 3 z)(3 - z)(3 - z) - (1 + 3 z) (3 - z)^22
= (1 + 3 z)(3 - z)^2 - 1 + 3 z2(3 - z)^2
= 12(1 + 3 z)(3 - z)^2

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a z:
integral0^3 12(1 + 3 z)(3 - z)^2 , dz
Para resolver essa integral, podemos expandir o polinômio:
(1 + 3 z)(9 - 6 z + z^2) = 9 + 27 z - 6 z + 18 z^2 + z^2 + 3 z^3 = 9 + 21 z + 19 z^2 + 3 z^3
Então, a integral se torna:
12 integral0^3 (9 + 21 z + 19 z^2 + 3 z^3) , dz = 12 [ 9 z + 212 z^2 + 193 z^3 + 34 z^4 ]0^3
Calculando nos limites:
12 ( 27 + 1892 + 5133 + 2434 ) = 12 ( 27 + 94,5 + 171 + 60,75 ) = 12 times 353,25 = 176,625

Resposta

O valor da integral usando o Teorema da Divergência é 176,625.

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