Qual o valor de L para que a função seja contínua em x=2?
f(x)=l raizx+2-raiz2 xx^2-2 x, x neq 2 L, x=2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfracraizx+2-raiz2xx^2-2x,&xneq2,[6pt] L,&x=2,
e pede o valor de L para que f seja contínua em x=2. Para isso, precisamos que
limxto2f(x)=f(2)=L
]

Passo 2

Para calcular limxto2 dfracraizx+2-raiz2xx^2-2x, note que o denominador se anula em x=2. Vamos simplificar a expressão usando a técnica de racionalização do numerador, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizx+2+raiz2x.

Passo 3

Multiplicando e simplificando:
raizx+2-raiz2xx^2-2x ;=; l(raizx+2-raiz2xr)l(raizx+2+raiz2xr)(x^2-2x)l(raizx+2+raiz2xr) ;=; (x+2)-2xx(x-2)l(raizx+2+raiz2xr)
Como (x+2)-2x=2-x=-(x-2), isso vira
-(x-2)x(x-2)l(raizx+2+raiz2xr) ;=; -1xl(raizx+2+raiz2xr),
onde cancelamos o fator x-2neq0.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=2:
limxto2f(x) =; -12l(raiz2+2+raiz2cdot2r) =; -12,(2+2) =; -18

Resposta

L=-tfrac18

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