Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+2 x z^{2} \mathbf{j}+3 y^{2} z \mathbf{k},
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+2 x z^{2} \mathbf{j}+3 y^{2} z \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
sobre a superfície fechada
que é o paraboloide
junto com o plano
. Vamos usar o Teorema do Divergente (Gauss), que diz que esse fluxo é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 2
Calcular a divergência de
Temos
Passo 3
A região
é
Em coordenadas cilíndricas
:
e
,
.
Passo 4
Pelo Teorema do Divergente:
Integramos primeiro em
:
então sobra
Passo 5
Calcular
Logo o fluxo é