Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+2 x z^{2} \mathbf{j}+3 y^{2} z \mathbf{k},
S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano x y

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
sobre a superfície fechada S que é o paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} junto com o plano z=0. Vamos usar o Teorema do Divergente (Gauss), que diz que esse fluxo é igual à integral tripla da divergência de \mathbf{F} sobre o volume E limitado por S.

Passo 2

Calcular a divergência de
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{3}\,\mathbf{i}+2xz^{2}\,\mathbf{j}+3y^{2}z\,\mathbf{k}.
Temos
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(2xz^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(3y^{2}z) =3x^{2}+0+3y^{2} =3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 3

A região E é
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;0\le z\le4-(x^{2}+y^{2})\}.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le4-r^{2},
e x^{2}+y^{2}=r^{2}, dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Pelo Teorema do Divergente:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{E}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =3\iiint_{E}(x^{2}+y^{2})\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{4-r^{2}}r^{2}\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{4-r^{2}}dz=4-r^{2},
então sobra
3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{3}(4-r^{2})\,dr.

Passo 5

Calcular
\int_{0}^{2}r^{3}(4-r^{2})\,dr =\int_{0}^{2}(4r^{3}-r^{5})\,dr =\Bigl[r^{4}-\tfrac{r^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{2} =16-\tfrac{64}{6} =\tfrac{16}{3}.
Logo o fluxo é
3\cdot2\pi\cdot\tfrac{16}{3} =32\pi.

Resposta

32\pi

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