Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k},
é a esfera
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da esfera
, orientada para fora. Vamos usar o Teorema do Divergente, que converte a integral de superfície num integral de volume do divergente de
.
Passo 2
Calculamos o divergente de
:
Passo 3
Pelo Teorema do Divergente, o fluxo sobre
é
onde
é a bola sólida de raio
.
Passo 4
Em coordenadas esféricas
temos
com
,
,
. Assim
Passo 5
Calculamos cada parte:
Multiplicando tudo: