Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k},
S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=x^{3}\,\mathbf{i}+y^{3}\,\mathbf{j}+z^{3}\,\mathbf{k} através da esfera S\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, orientada para fora. Vamos usar o Teorema do Divergente, que converte a integral de superfície num integral de volume do divergente de \mathbf{F}.

Passo 2

Calculamos o divergente de \mathbf{F}:
\operatorname{div}\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) =3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} =3r^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente, o fluxo sobre S é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV
onde V é a bola sólida de raio 1.

Passo 4

Em coordenadas esféricas (r,\varphi,\theta) temos
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta, \quad \operatorname{div}\mathbf{F}=3r^{2},
com 0\le r\le1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi. Assim
\iiint_{V}3r^{2}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{1} 3r^{2}\bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{1}3r^{4}\,dr.

Passo 5

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{1}3r^{4}\,dr =\bigl[\tfrac{3}{5}r^{5}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{3}{5},
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} =2,
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando tudo:
\frac{3}{5}\times2\times2\pi=\frac{12\pi}{5}.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{12\pi}{5}.

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