Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=y e z^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+e^{x y} \mathbf{k},
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=y e z^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+e^{x y} \mathbf{k},
Passo 1
O problema pede o fluxo de
através da superfície fechada
que bordea o sólido
limitado por
O conteúdo-chave aqui é o Teorema do Divergente (ou Gauss), que diz que
Passo 2
Calculamos a divergência de
. Usando
vemos que
,
e
. Logo
Passo 3
Descrimos o sólido
em coordenadas cartesianas como
Pelo Teorema do Divergente, o fluxo vale
Passo 4
Separamos a integral em
primeiro: para dado
no disco
,
Assim
Passo 5
Passamos a coordenadas polares:
,
, com
,
, e
. Então
Passo 6
Separamos em duas integrais:
Como
, só sobra a segunda parte com sinal negativo: