Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=y e z^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+e^{x y} \mathbf{k},
S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z=y-3

Passo 1

O problema pede o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S que bordea o sólido E limitado por
x^{2}+y^{2}=9,\quad z=0,\quad z=y-3.
O conteúdo-chave aqui é o Teorema do Divergente (ou Gauss), que diz que
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{E}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}(x,y,z)=(y\,e\,z^{2},\,y^{2},\,e^{xy}). Usando
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y\,e\,z^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(e^{xy}),
vemos que \partial_x(y\,e\,z^2)=0, \partial_y(y^2)=2y e \partial_z(e^{xy})=0. Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=2y.

Passo 3

Descrimos o sólido E em coordenadas cartesianas como
E=\bigl\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le9,\;y-3\le z\le0\bigr\}.
Pelo Teorema do Divergente, o fluxo vale
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{E}2y\,dV.

Passo 4

Separamos a integral em z primeiro: para dado (x,y) no disco x^2+y^2\le9,
\int_{z=y-3}^{0}2y\,dz =2y\bigl[\,z\bigr]_{z=y-3}^{z=0} =2y\bigl(0-(y-3)\bigr) =2y(3-y) =6y-2y^{2}.
Assim
\iiint_{E}2y\,dV =\iint_{x^2+y^2\le9}\!(6y-2y^2)\,dA.

Passo 5

Passamos a coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com 0\le r\le3, 0\le\theta\le2\pi, e dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint(6y-2y^2)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\bigl(6r\sin\theta-2r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\bigl(6r^{2}\sin\theta-2r^{3}\sin^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{0}^{3}6r^{2}dr \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{3}2r^{3}dr.
Como \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, só sobra a segunda parte com sinal negativo:
-2\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{3}r^{3}dr\Bigr) =-2\cdot\pi\cdot\frac{3^{4}}{4} =-2\cdot\pi\cdot\frac{81}{4} =-\frac{81\pi}{2}.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =-\frac{81\pi}{2}.

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