Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=z \cos y \mathbf{i}+x \operatorname{sen} z \mathbf{j}+x z \mathbf{k},
é a superfície do tetraedro limitado pelos planos
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=z \cos y \mathbf{i}+x \operatorname{sen} z \mathbf{j}+x z \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
do tetraedro limitado pelos planos
Como temos uma superfície fechada e queremos a integral
, o Teorema do Divergente (ou Gauss) diz que basta calcular
onde
é o volume desse tetraedro.
Passo 2
Vamos achar primeiro a divergente de
:
Como
não depende de
, a primeira derivada é zero;
não depende de
, a segunda é zero; e
Logo
Passo 3
O volume
é dado por
Para montar a integral tripla, podemos escolher a ordem
. Para um
fixo em
(pois
), temos
Assim
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Em seguida a integral em
:
Passo 5
Agora sobra a integral em
: