Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=z \cos y \mathbf{i}+x \operatorname{sen} z \mathbf{j}+x z \mathbf{k}, S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=\varphi \mathrm{e} 2 x+y+z=2

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=z\cos y\,\mathbf{i}+x\sin z\,\mathbf{j}+xz\,\mathbf{k} através da superfície fechada S do tetraedro limitado pelos planos
x=0,\quad y=0,\quad z=0,\quad 2x+y+z=2.
Como temos uma superfície fechada e queremos a integral \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, o Teorema do Divergente (ou Gauss) diz que basta calcular
\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV,
onde V é o volume desse tetraedro.

Passo 2

Vamos achar primeiro a divergente de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(z\cos y) +\frac{\partial}{\partial y}(x\sin z) +\frac{\partial}{\partial z}(x z).
Como z\cos y não depende de x, a primeira derivada é zero; x\sin z não depende de y, a segunda é zero; e
\frac{\partial}{\partial z}(x z)=x.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=x.

Passo 3

O volume V é dado por
V=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;2x+y+z\le2\}.
Para montar a integral tripla, podemos escolher a ordem dz\,dy\,dx. Para um x fixo em [0,1] (pois 2x\le2\implies x\le1), temos
y\;\text{de }0\text{ a }2-2x, \quad z\;\text{de }0\text{ a }(2-2x-y).
Assim
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}x\,dV =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2-2x}\!\int_{z=0}^{2-2x-y}x\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em z:
\int_{z=0}^{2-2x-y}x\,dz =x\bigl[(2-2x-y)-0\bigr] =x\,(2-2x-y).
Em seguida a integral em y:
\int_{y=0}^{2-2x}x\,(2-2x-y)\,dy =x\int_{0}^{2-2x}(2-2x-y)\,dy =x\cdot\frac{(2-2x)^2}{2} =\frac{x\,(2-2x)^2}{2}.

Passo 5

Agora sobra a integral em x:
\int_{0}^{1}\frac{x\,(2-2x)^2}{2}\,dx =\frac12\int_{0}^{1}x(4-8x+4x^2)\,dx =\frac12\Bigl[2x^2-\tfrac{8}{3}x^3+x^4\Bigr]_{0}^{1} =\frac12\Bigl(2-\tfrac{8}{3}+1\Bigr) =\frac16.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}.

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