Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x+e^{y \operatorname{tg} z}\right) \mathbf{i}+3 x e^{x z} \mathbf{j}+(\cos y-z) \mathbf{k}, S é a superfície com equação x^{4}+y^{4}+z^{4}=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf F através da superfície fechada
\;S:\;x^4+y^4+z^4=1, usando o Teorema do Divergente. O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que, para uma superfície fechada S que limita o volume V,
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S \;=\;\iiint_{V}\nabla\!\cdot\mathbf F\,dV.
Para resolver vamos (1) calcular \nabla\!\cdot\mathbf F e (2) integrar no volume interno de S.

Passo 2

Calculemos o divergente de
\mathbf F(x,y,z)=\bigl(x+e^{y\tan z}\bigr)\mathbf i \;+\;3x\,e^{xz}\,\mathbf j \;+\;\bigl(\cos y - z\bigr)\mathbf k.
Por definição,
\nabla\!\cdot\mathbf F =\frac{\partial}{\partial x}(x+e^{y\tan z}) +\frac{\partial}{\partial y}(3x\,e^{xz}) +\frac{\partial}{\partial z}(\cos y - z).

Passo 3

Avancemos cada derivada:
  1. \partial/\partial x de x+e^{y\tan z} é 1+0=1.
  2. \partial/\partial y de 3x\,e^{xz} é 0.
  3. \partial/\partial z de \cos y - z é 0 - 1 = -1.
    Somando,
\nabla\!\cdot\mathbf F = 1 + 0 - 1 = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Divergente,
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =\iiint_{V}(\nabla\!\cdot\mathbf F)\,dV =\iiint_{V}0\,dV =0.

Resposta

0.

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