Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x+e^{y \operatorname{tg} z}\right) \mathbf{i}+3 x e^{x z} \mathbf{j}+(\cos y-z) \mathbf{k},
é a superfície com equação
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x+e^{y \operatorname{tg} z}\right) \mathbf{i}+3 x e^{x z} \mathbf{j}+(\cos y-z) \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
, usando o Teorema do Divergente. O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que, para uma superfície fechada
que limita o volume
,
Para resolver vamos (1) calcular
e (2) integrar no volume interno de
.
Passo 2
Calculemos o divergente de
Por definição,
Passo 3
Avancemos cada derivada:
-
de é . -
de é . -
de é .
Somando,
Passo 4
Pelo Teorema do Divergente,