1. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplasigma F cdot eta d S, ou seja, o fluxo de F através de sigma.
    a) F(x, y, z)=e^x sen(y) i+e^x cos (y) j+y z^2 k, onde sigma consiste na superfície da caixa delimitada pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=2.
    b) F(x, y, z)=3 x y^2) i+x e^z j+z^3 k, onde sigma é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro z^2+y^2=1 e pelos planos x=-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F através de superfícies fechadas usando o Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss), que diz que
integral duplasigmaFcdoteta,dS = integral triplaVnablacdotF,dV,
onde V é o volume limitado por sigma. Em cada item vamos calcular nablacdotF e depois a integral tripla sobre o volume dado.

Passo 2

Para o item (a), F(x,y,z) = e^xsin(y),i + e^xcos(y),j + y z^2,k. Calculamos
nablacdotF = partialpartial xl(e^xsin yr) + partialpartial yl(e^xcos yr) + partialpartial zl(y z^2r)
Isso dá
nablacdotF = e^xsin y - e^xsin y + 2y z = 2y z
O volume é o paralelepípedo 0<= x<=1, 0<= y<=1, 0<= z<=2, então
integral duplasigmaFcdoteta,dS = integral0^1!!integral0^1!!integral0^22y z,dz,dy,dx

Passo 3

Calculando
integral0^22y z,dz =2yintegral0^2z,dz =2ycdot2^22 =4y,
integral0^14y,dy =4cdot12 =2, integral0^12,dx =2
Logo o fluxo em (a) é
2

Passo 4

Para o item (b), F(x,y,z)=3xy^2,i+x e^z,j+z^3,k. Temos
nablacdotF = partialpartial x(3xy^2) + partialpartial y(x e^z) + partialpartial z(z^3) = 3y^2 +0 +3z^2 =3l(y^2+z^2r)
O volume é o sólido: cilindro y^2+z^2<=1 para -1<= x<=2. Usamos coordenadas cilíndricas no plano yz: r^2=y^2+z^2, dAyz=r,dr,dtheta, e x varia de -1 a 2. Assim
integral duplasigmaFcdoteta,dS = integralx=-1^2!!integraltheta=0^2pi!!integralr=0^1 3r^2;r,dr,dtheta,dx

Passo 5

Avaliaremos
integral0^13r^3,dr =3cdot14 =34, integral0^2pidtheta =2pi, integral-1^2dx =3
Multiplicando,
3times2pitimes34 =9pi2
Portanto o fluxo em (b) é tfrac9pi2.

Resposta

(a) 2
(b) 9pi2

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