- Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
, ou seja, o fluxo de
através de
.
a)
, onde
consiste na superfície da caixa delimitada pelos planos
e
.
b)
, onde
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através de superfícies fechadas usando o Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss), que diz que
onde
é o volume limitado por
. Em cada item vamos calcular
e depois a integral tripla sobre o volume dado.
Passo 2
Para o item (a),
. Calculamos
Isso dá
O volume é o paralelepípedo
,
,
, então
Passo 3
Calculando
Logo o fluxo em (a) é
Passo 4
Para o item (b),
. Temos
O volume é o sólido: cilindro
para
. Usamos coordenadas cilíndricas no plano
:
,
, e
varia de
a
. Assim
Passo 5
Avaliaremos
Multiplicando,
Portanto o fluxo em (b) é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)