Use o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia de (a) um cilindro sólido girando em torno de um eixo paralelo ao seu centro de simetria e localizado na sua extremidade, e (b) uma esfera sólida em girando torno de um eixo tangente à sua superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre momento de inércia usando o teorema dos eixos paralelos. Esse teorema é útil quando queremos encontrar o momento de inércia de um objeto em um eixo que é paralelo ao seu eixo central. Precisaremos saber as fórmulas básicas do momento de inércia para cilindros e esferas, além de entender como aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): um cilindro sólido girando em torno de um eixo paralelo ao seu centro de simetria e localizado na sua extremidade.
O teorema dos eixos paralelos diz que o momento de inércia
em um eixo qualquer paralelo ao eixo central é dado por:
Onde:
-
é o momento de inércia em relação ao eixo central, -
é a massa do objeto, -
é a distância entre os dois eixos.
Para um cilindro sólido, o momento de inércia em torno do seu eixo central é:
Aqui,
é o raio do cilindro.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a distância
entre o eixo central e o eixo na extremidade. Se pensamos no cilindro como tendo comprimento
, o eixo na extremidade está a uma distância de
do centro. Porém, geralmente consideramos o eixo na extremidade como estando a distância
do centro em ambos os lados, totalizando
.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): uma esfera sólida girando em torno de um eixo tangente à sua superfície.
Primeiro, sabemos que o momento de inércia de uma esfera sólida em torno de seu eixo central é:
Aqui,
é o raio da esfera.
A distância
entre o eixo central e o eixo tangente é igual ao raio da esfera, ou seja,
.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
Resposta
(a) O momento de inércia do cilindro sólido em torno do eixo na extremidade é:
(b) O momento de inércia da esfera sólida em torno de um eixo tangente à sua superfície é: