Use o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia de (a) um cilindro sólido girando em torno de um eixo paralelo ao seu centro de simetria e localizado na sua extremidade, e (b) uma esfera sólida em girando torno de um eixo tangente à sua superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre momento de inércia usando o teorema dos eixos paralelos. Esse teorema é útil quando queremos encontrar o momento de inércia de um objeto em um eixo que é paralelo ao seu eixo central. Precisaremos saber as fórmulas básicas do momento de inércia para cilindros e esferas, além de entender como aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar o eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): um cilindro sólido girando em torno de um eixo paralelo ao seu centro de simetria e localizado na sua extremidade.
O teorema dos eixos paralelos diz que o momento de inércia I em um eixo qualquer paralelo ao eixo central é dado por:
I = Icm + M cdot d^2
Onde:
  • Icm é o momento de inércia em relação ao eixo central,
  • M é a massa do objeto,
  • d é a distância entre os dois eixos.
Para um cilindro sólido, o momento de inércia em torno do seu eixo central é:
Icm = 12 M R^2
Aqui, R é o raio do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a distância d entre o eixo central e o eixo na extremidade. Se pensamos no cilindro como tendo comprimento L , o eixo na extremidade está a uma distância de L2 do centro. Porém, geralmente consideramos o eixo na extremidade como estando a distância L2 do centro em ambos os lados, totalizando d = L2 .
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
I = 12 M R^2 + M (L2)^2 = 12 M R^2 + 14 M L^2

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): uma esfera sólida girando em torno de um eixo tangente à sua superfície.
Primeiro, sabemos que o momento de inércia de uma esfera sólida em torno de seu eixo central é:
Icm = 25 M R^2
Aqui, R é o raio da esfera.
A distância d entre o eixo central e o eixo tangente é igual ao raio da esfera, ou seja, d = R .
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
I = 25 M R^2 + M R^2 = 75 M R^2

Resposta

(a) O momento de inércia do cilindro sólido em torno do eixo na extremidade é:
I = 12 M R^2 + 14 M L^2
(b) O momento de inércia da esfera sólida em torno de um eixo tangente à sua superfície é:
I = 75 M R^2

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