Use o Teorema da Função Implícita e calcule d xd y no ponto P0 especificado.
y^3+x^3-cos (x y)=0 ; P0=(1,0)

Passo 1

O enunciado define a curva implícita
F(x,y)=y^3+x^3-cos(xy)=0
e pede tfracdxdy no ponto P0=(1,0). Vamos usar o Teorema da Função Implícita, que requer calcular as derivadas parciais de F e verificar que partial F/partial xneq0 em P0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F(x,y):
partial Fpartial x =3x^2-l(-sin(xy)r)cdot y =3x^2+y,sin(xy),
partial Fpartial y =3y^2-l(-sin(xy)r)cdot x =3y^2+x,sin(xy)

Passo 3

Agora avaliamos em P0=(1,0). Como xy=1cdot0=0 e sin0=0, temos
partial Fpartial x(1,0)=3cdot1^2+0cdot0=3,
partial Fpartial y(1,0)=3cdot0^2+1cdot0=0

Passo 4

Pelo Teorema da Função Implícita, quando partial F/partial xneq0 podemos escrever localmente x=x(y) e
dxdy =-partial F/partial ypartial F/partial x
Substituindo os valores em P0:
dxdyl|(1,0) =-03=0

Resposta

dxdyl|P0=0

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