Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule y^prime(P0) e y^prime prime(P0).
x ln x+y e^y=0 ; P0=(1,0)

Passo 1

O enunciado define
F(x,y)=xln x + y e^y = 0
e pede para verificar a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita em P0=(1,0) e depois calcular ,y'(P0) e ,y''(P0). O conteúdo é diferencial implícita: precisamos checar Fy(P0)neq0 e em seguida usar
y'=-FxFy e y''=-Fxx+2Fxyy'+Fyy(y')^2Fy,

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Fx=partialpartial x(xln x)=ln x +1, Fy=partialpartial y(y e^y)=e^y + y e^y = e^y(1+y)
Em P0=(1,0) temos
F(1,0)=1cdot0 +0cdot1=0, Fy(1,0)=e^0(1+0)=1neq0
Logo o Teorema da Função Implícita vale e garante y=y(x) diferenciável perto de x=1.

Passo 3

Usando
y'=-FxFy,
em P0
Fx(1,0)=ln1+1=1, Fy(1,0)=1,
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y'(P0)=-11=-1

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem de F:
Fxx=partialpartial x(ln x+1)=1x, Fxy=partialpartial y(ln x+1)=0, Fyy=partialpartial yl(e^y(1+y)r)=e^y(2+y)
Em P0 isso vale
Fxx(1,0)=1, Fxy(1,0)=0, Fyy(1,0)=e^0,(2+0)=2
Então, pela fórmula
y''=-Fxx+2Fxyy'+Fyy(y')^2Fy,
substituindo y'(P0)=-1 e Fy(1,0)=1, obtemos
y''(P0)=-l[1 + 2cdot0cdot(-1) +2cdot(-1)^2r]=-3

Resposta

y'(P0)=-1, y''(P0)=-3.

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