Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule
e
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita em
e depois calcular
e
. O conteúdo é diferencial implícita: precisamos checar
e em seguida usar
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Em
temos
Logo o Teorema da Função Implícita vale e garante
diferenciável perto de
.
Passo 3
Usando
em
dá
logo
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem de
:
Em
isso vale
Então, pela fórmula
substituindo
e
, obtemos