Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
h) integralraizx^x^3 raizt cos (t) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=integralraizx^x^3raiztcos(t),dt. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se H(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt, então
H'(x)=fl(b(x)r)cdot b'(x)-fl(a(x)r)cdot a'(x)
Aqui temos f(t)=raiztcos(t), a(x)=raizx e b(x)=x^3.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
b'(x)=ddx(x^3)=3x^2,
a'(x)=ddx(raizx)=12raizx

Passo 4

Substituindo na fórmula do passo 2:
h'(x)=raizb(x)cosl(b(x)r)cdot b'(x)-raiza(x)cosl(a(x)r)cdot a'(x)
ou seja
h'(x)=raizx^3cos(x^3)cdot3x^2-raizraizxcos(raizx)cdot12raizx

Passo 5

Para simplificar, observe que raizx^3=x^3/2 e raizraizx=x^1/4. Então:
h'(x)=3x^2,x^3/2cos(x^3)-x^1/42x^1/2cos(raizx)
que resulta em
h'(x)=3x^7/2cos(x^3)-12x^-1/4cos(raizx)

Resposta

h’(x)=3x{7/2}\cos(x3)-\tfrac{1}{2}x^{-1/4}\cos(\sqrt{x})

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