O valor médio
de uma função contínua
no intervalo
é definido como
. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função
no intervalo
. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da média de uma função contínua. Para calcular isso, vamos usar a fórmula do valor médio que envolve uma integral definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do valor médio de uma função contínua
no intervalo
. A fórmula é:
Aqui,
representa o valor médio que queremos encontrar,
e
são os limites do intervalo, e a integral
calcula a área sob a curva
entre
e
.
Passo 3
No nosso caso, a função
, e o intervalo é
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. A integral de
é conhecida e é igual ao logaritmo natural de
:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa integral definida:
Como
e
são positivos, podemos simplificar para:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Voltando à fórmula do valor médio:
Então, o valor médio da função
no intervalo
é
.
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é
.