O valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] é definido como Mf=1b-a integrala^b f(x) d x. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
f(x)=1x, [1,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função f(x) = 1x no intervalo [1, 4]. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da média de uma função contínua. Para calcular isso, vamos usar a fórmula do valor médio que envolve uma integral definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do valor médio de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b]. A fórmula é:
Mf = 1b - a integrala^b f(x) , dx
Aqui, Mf representa o valor médio que queremos encontrar, a e b são os limites do intervalo, e a integral integrala^b f(x) , dx calcula a área sob a curva f(x) entre a e b .

Passo 3

No nosso caso, a função f(x) = 1x , e o intervalo é [1, 4]. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Mf = 14 - 1 integral1^4 1x , dx
Simplificando 4 - 1 , temos:
Mf = 13 integral1^4 1x , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral1^4 1x , dx . A integral de 1x é conhecida e é igual ao logaritmo natural de x :
integral 1x , dx = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C .

Passo 5

Aplicando isso à nossa integral definida:
integral1^4 1x , dx = ln|4| - ln|1|
Como 4 e 1 são positivos, podemos simplificar para:
ln(4) - ln(1)
Sabemos que ln(1) = 0 , então:
ln(4) - 0 = ln(4)

Passo 6

Voltando à fórmula do valor médio:
Mf = 13 times ln(4)
Então, o valor médio da função f(x) = 1x no intervalo [1, 4] é ln(4)3 .

Resposta

O valor médio da função f(x) = 1x no intervalo [1, 4] é ln(4)3 .

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