Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de
;
é a superfície do corpo
, na direção da normal exterior.
o fluxo de
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o fluxo de
através da superfície
do corpo limitado por
na direção da normal exterior.
Informações e dados importantes fornecidos:
A superfície é a fronteira do volume
definido por pontos cuja coordenada
satisfaz
A superfície
Observação geométrica que vem do enunciado (usada para entender o volume): a equação
é a parte superior do cone reto
(
) e a equação
corresponde à parte superior da esfera
. O cone e a esfera intersectam quando
e
, o que dá a circunferência de raio
em
. Portanto o volume é o sólido entre o cone
e a esfera
, com
.
Passo 2
Escolha do método (conforme pedido): vamos usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência). Vou explicar rapidamente o que ele diz e como aplicamos aqui.
Enunciado do Teorema de Gauss (intuitivo e prático): se
é um volume com fronteira lisa e
é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo de
através da superfície fechada
(com normal exterior) é igual à integral tripla da divergência de
sobre
:
Aqui
é a normal unitária exterior e
é a divergência de
.
Aplicação: portanto podemos calcular o fluxo pedindo no enunciado através de
como a integral tripla da divergência de
sobre
.
Passo 3
Calcular a divergência de
.
A divergência é definida por soma das derivadas parciais das componentes:
Calcule termo a termo:
Logo
Passo 4
Simplificação usando simetria do volume.
Vamos integrar
sobre o volume
. Note que
é obtido rotacionando em torno do eixo
(é simétrico em
completo de
a
), centrado na origem. Em volumes com essa simetria, as integrais tripla de
e de
sobre
são nulas, porque para cada ponto
no volume existe o ponto
(ou a reflexão correspondente) com contribuição oposta. Portanto
Fica então
Ou seja, precisamos calcular
vezes a integral tripla de
sobre
.
Passo 5
Escolher coordenadas e descrever limites do volume.
Para esse volume é natural usar coordenadas cilíndricas
com
. No diferencial de volume temos
.
Os limites: para um dado
entre
e
(ver Passo 1 a interseção cone-esfera dá
), o
varia de
(o cone) até
(a esfera). O ângulo
vai de
a
. Portanto
Passo 6
Escrever a integral tripla que precisamos calcular.
Já que o fluxo é
, em coordenadas cilíndricas:
Passo 7
Fazer a integração na variável
(integração interna).
Calcule primeiro
. A primitiva de
é
. Então
Agora
. Assim
Lembre que na integral completa havia o fator
multiplicando, então a integral sobre
mais esse
dá
Passo 8
Agora integramos em
e
.
Substituindo o resultado do Passo 7:
Integramos primeiro em
:
. Assim
Passo 9
Calcular a integral em
.
Calcule as primitivas:
Portanto
Passo 10
Juntar tudo e obter o valor final do fluxo.
Voltando a
resultado do Passo 9, obtemos