Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=2 x^{2} \vec{i}+3 y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}; S é a superfície do corpo \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq \sqrt{2 R^{2}-x^{2}-y^{2}}, na direção da normal exterior.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=2x^{2}\,\vec{i}+3y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} através da superfície S do corpo limitado por
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z \le \sqrt{2R^{2}-x^{2}-y^{2}},
na direção da normal exterior.
Informações e dados importantes fornecidos:
\vec{F}(x,y,z)=2x^{2}\,\vec{i}+3y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}.
A superfície S é a fronteira do volume V definido por pontos cuja coordenada z satisfaz
z_{\text{inferior}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{e}\quad z_{\text{superior}}=\sqrt{2R^{2}-x^{2}-y^{2}}.
Observação geométrica que vem do enunciado (usada para entender o volume): a equação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a parte superior do cone reto z=r ( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e a equação z=\sqrt{2R^{2}-x^{2}-y^{2}} corresponde à parte superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2R^{2}. O cone e a esfera intersectam quando r=z e x^{2}+y^{2}+z^{2}=2R^{2}, o que dá a circunferência de raio R em z=R. Portanto o volume é o sólido entre o cone z=r e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2R^{2}, com z\ge0.

Passo 2

Escolha do método (conforme pedido): vamos usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência). Vou explicar rapidamente o que ele diz e como aplicamos aqui.
Enunciado do Teorema de Gauss (intuitivo e prático): se V é um volume com fronteira lisa e \vec{F} é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo de \vec{F} através da superfície fechada \partial V (com normal exterior) é igual à integral tripla da divergência de \vec{F} sobre V:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui \vec{n} é a normal unitária exterior e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}.
Aplicação: portanto podemos calcular o fluxo pedindo no enunciado através de S=\partial V como a integral tripla da divergência de \vec{F} sobre V.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}.
A divergência é definida por soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}).
Calcule termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
Logo
\nabla\cdot\vec{F}=4x+6y+2z.

Passo 4

Simplificação usando simetria do volume.
Vamos integrar \nabla\cdot\vec{F} sobre o volume V. Note que V é obtido rotacionando em torno do eixo z (é simétrico em \theta completo de 0 a 2\pi), centrado na origem. Em volumes com essa simetria, as integrais tripla de x e de y sobre V são nulas, porque para cada ponto (x,y,z) no volume existe o ponto (-x,-y,z) (ou a reflexão correspondente) com contribuição oposta. Portanto
\iiint_{V}4x\,dV=0,\qquad \iiint_{V}6y\,dV=0.
Fica então
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}(4x+6y+2z)\,dV = 2\iiint_{V} z\,dV.
Ou seja, precisamos calcular 2 vezes a integral tripla de z sobre V.

Passo 5

Escolher coordenadas e descrever limites do volume.
Para esse volume é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z. No diferencial de volume temos dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Os limites: para um dado r entre 0 e R (ver Passo 1 a interseção cone-esfera dá r=R), o z varia de z=r (o cone) até z=\sqrt{2R^{2}-r^{2}} (a esfera). O ângulo \theta vai de 0 a 2\pi. Portanto
0\le \theta\le 2\pi,\quad 0\le r\le R,\quad r\le z\le \sqrt{2R^{2}-r^{2}}.

Passo 6

Escrever a integral tripla que precisamos calcular.
Já que o fluxo é 2\iiint_{V} z\,dV, em coordenadas cilíndricas:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 2\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R}\int_{z=r}^{\sqrt{2R^{2}-r^{2}}} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 7

Fazer a integração na variável z (integração interna).
Calcule primeiro \displaystyle\int_{z=r}^{\sqrt{2R^{2}-r^{2}}} z\,dz. A primitiva de z é \tfrac{1}{2}z^{2}. Então
\int_{z=r}^{\sqrt{2R^{2}-r^{2}}} z\,dz = \frac{1}{2}\Big(\big(\sqrt{2R^{2}-r^{2}}\big)^{2}-r^{2}\Big).
Agora \big(\sqrt{2R^{2}-r^{2}}\big)^{2}=2R^{2}-r^{2}. Assim
\int_{z=r}^{\sqrt{2R^{2}-r^{2}}} z\,dz = \frac{1}{2}\big(2R^{2}-r^{2}-r^{2}\big)=\frac{1}{2}(2R^{2}-2r^{2})=R^{2}-r^{2}.
Lembre que na integral completa havia o fator r multiplicando, então a integral sobre z mais esse r
\int_{z=r}^{\sqrt{2R^{2}-r^{2}}} z\, r\,dz = r\big(R^{2}-r^{2}\big).

Passo 8

Agora integramos em r e \theta.
Substituindo o resultado do Passo 7:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r\big(R^{2}-r^{2}\big)\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em \theta: \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 2\cdot 2\pi \int_{0}^{R} r(R^{2}-r^{2})\,dr = 4\pi \int_{0}^{R} \big(R^{2}r - r^{3}\big)\,dr.

Passo 9

Calcular a integral em r.
Calcule as primitivas:
\int R^{2}r\,dr = R^{2}\cdot\frac{r^{2}}{2},\qquad \int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4}.
Portanto
\int_{0}^{R} \big(R^{2}r - r^{3}\big)\,dr = \left[R^{2}\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R} = R^{2}\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{4}}{4} = \frac{1}{2}R^{4}-\frac{1}{4}R^{4}=\frac{1}{4}R^{4}.

Passo 10

Juntar tudo e obter o valor final do fluxo.
Voltando a \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 4\pi \times resultado do Passo 9, obtemos
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 4\pi \cdot \frac{1}{4}R^{4} = \pi R^{4}.

Resposta

\pi R^{4}

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