Use o Teorema de Stokes para calcular
\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; S é a parte do plano z=y que está dentro do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x y\,\vec{i}+x^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} e a superfície S definida como a parte do plano z=y que está dentro do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
A pergunta é calcular, usando o Teorema de Stokes, a integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S, isto é
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot \mathbf{n}\,dS,
que, pelo Teorema de Stokes, é igual à circulação de \vec{F} na borda \partial S:
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes listadas:
  • \vec{F}(x,y,z)=x y\,\vec{i}+x^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}.
  • S é a parte do plano z=y limitada pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
  • Precisamos usar Stokes (podemos calcular a integral de superfície de \nabla\times\vec{F} sobre S ou a integral de linha na borda).

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Vou explicar o que é e como calcular: o rotacional de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é dado por
\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}.
Aqui F_1=xy, F_2=x^2, F_3=z^2. Calculando cada componente:
  • Componente em \vec{i}: \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial (z^2)}{\partial y}-\frac{\partial (x^2)}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente em \vec{j}: \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}= \frac{\partial (xy)}{\partial z}-\frac{\partial (z^2)}{\partial x}=0-0=0.
  • Componente em \vec{k}: \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial (x^2)}{\partial x}-\frac{\partial (xy)}{\partial y}=2x-x=x.
Portanto
\nabla\times\vec{F} = x\,\vec{k}.

Passo 3

Parametrização da superfície S. Como S é parte do plano z=y, uma parametrização natural usa as coordenadas (x,y):
\vec{r}(x,y) = (x,\; y,\; y).
Aqui os parâmetros (x,y) pertencem à projeção D de S no plano xy. Para integrar sobre S usando a fórmula de superfície, precisamos do vetor normal (não unitário)
\vec{r}_x = \frac{\partial\vec{r}}{\partial x}=(1,0,0),\qquad \vec{r}_y=\frac{\partial\vec{r}}{\partial y}=(0,1,1).
O produto vetorial dá um vetor normal orientado:
\vec{r}_x\times\vec{r}_y = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ 1&0&0\\\ 0&1&1\end{vmatrix}=(0,-1,1).
Esse vetor tem componente em z positiva ( 1), portanto corresponde a uma orientação com componente k positiva — escolhemos esta orientação (isto determina a orientação positiva da borda conforme a regra da mão direita).
Lembre-se: para integrar o rotacional sobre S podemos usar
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \mathbf{n}\,dS =\iint_{D} (\nabla\times\vec{F})(\vec{r}(x,y))\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y)\,dx\,dy,
onde D é a região no plano xy que parametriza S.

Passo 4

Avaliar o produto escalar (\nabla\times\vec{F})(\vec{r}(x,y))\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y). Temos \nabla\times\vec{F}=x\,\vec{k}. Avaliado na superfície \vec{r}(x,y) continua sendo x\,\vec{k} (o x é o mesmo parâmetro x). Então
(\nabla\times\vec{F})(\vec{r}(x,y))\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y) = (0,0,x)\cdot(0,-1,1)=x.
Logo o integrando reduz-se a x, e a integral de superfície vira a integral dupla sobre D de x:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_{D} x\,dx\,dy.

Passo 5

Determinar a região D (projeção de S no plano xy). A borda de S é a interseção do plano z=y com o paraboloide z=x^{2}+y^{2}. Substituindo z=y em z=x^{2}+y^{2} obtemos
y = x^{2}+y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-y=0.
Completar o quadrado em y:
x^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Portanto D é o disco no plano xy centrado em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) com raio \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcular a integral dupla \iint_{D} x\,dx\,dy. Observação simples e poderosa: a região D é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, para cada ponto (x,y)\in D o ponto (-x,y) também pertence a D), e a função integranda x é ímpar em x (isto é, x\mapsto -x muda o sinal). Assim os contributos de (x,y) e (-x,y) se cancelam para todo y, então a integral sobre o disco é zero:
\iint_{D} x\,dx\,dy = 0.
(Se preferir, poderíamos mudar de coordenadas e calcular explicitamente, mas o argumento de simetria é mais rápido e à prova de erros.)

Passo 7

Concluir pelo Teorema de Stokes: a integral de superfície do rotacional sobre S é zero. Como o Teorema de Stokes afirma igualdade entre essa integral de superfície e a circulação na borda \partial S, também vale
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0,
com a orientação de borda consistente com o vetor normal escolhido (com componente k positiva). Como o valor é zero, a orientação não altera o resultado numérico.

Resposta

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