Use o Teorema de Stokes para calcular \vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; S é a parte do plano z=y que está dentro do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x y\,\vec{i}+x^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} e a superfície S definida como a parte do plano z=y que está dentro do paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
A pergunta é calcular, usando o Teorema de Stokes, a integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S, isto é
Parametrização da superfície S. Como S é parte do plano z=y, uma parametrização natural usa as coordenadas (x,y):
\vec{r}(x,y) = (x,\; y,\; y).
Aqui os parâmetros (x,y) pertencem à projeção D de S no plano xy. Para integrar sobre S usando a fórmula de superfície, precisamos do vetor normal (não unitário)
Esse vetor tem componente em z positiva (1), portanto corresponde a uma orientação com componente k positiva — escolhemos esta orientação (isto determina a orientação positiva da borda conforme a regra da mão direita).
Lembre-se: para integrar o rotacional sobre S podemos usar
Avaliar o produto escalar (\nabla\times\vec{F})(\vec{r}(x,y))\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y). Temos \nabla\times\vec{F}=x\,\vec{k}. Avaliado na superfície \vec{r}(x,y) continua sendo x\,\vec{k} (o x é o mesmo parâmetro x). Então
Determinar a região D (projeção de S no plano xy). A borda de S é a interseção do plano z=y com o paraboloide z=x^{2}+y^{2}. Substituindo z=y em z=x^{2}+y^{2} obtemos
y = x^{2}+y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-y=0.
Portanto D é o disco no plano xy centrado em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) com raio \tfrac{1}{2}.
Passo 6
Calcular a integral dupla \iint_{D} x\,dx\,dy. Observação simples e poderosa: a região D é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, para cada ponto (x,y)\in D o ponto (-x,y) também pertence a D), e a função integranda x é ímpar em x (isto é, x\mapsto -x muda o sinal). Assim os contributos de (x,y) e (-x,y) se cancelam para todo y, então a integral sobre o disco é zero:
\iint_{D} x\,dx\,dy = 0.
(Se preferir, poderíamos mudar de coordenadas e calcular explicitamente, mas o argumento de simetria é mais rápido e à prova de erros.)
Passo 7
Concluir pelo Teorema de Stokes: a integral de superfície do rotacional sobre S é zero. Como o Teorema de Stokes afirma igualdade entre essa integral de superfície e a circulação na borda \partial S, também vale
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0,
com a orientação de borda consistente com o vetor normal escolhido (com componente k positiva). Como o valor é zero, a orientação não altera o resultado numérico.