Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
Seja R a região limitada pelas três curvas, cujas equações polares são theta=pi4, r=2, theta=3 pi4, e seja C a linha delimitadora de R , tomada no sentido antihorário. Calcule ointC[x y d x+x^2 d y].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C . A região R é delimitada por três curvas dadas em coordenadas polares: theta = pi4 , r = 2 e theta = 3pi4 . A integral que a gente quer calcular é:
ointC[x y, dx + x^2, dy]
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e saber transformar integrais de linha em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy
No nosso caso, identificamos P = x y e Q = x^2 . Precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x^2)partial x = 2x
partial Ppartial y = partial (x y)partial y = x
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
integral duplaR ( 2x - x ) dx, dy = integral duplaR x, dx, dy

Passo 4

Agora, precisamos avaliar a integral dupla integral duplaR x, dx, dy . Observando que a região R está descrita em coordenadas polares, é mais fácil convertermos tudo para essas coordenadas.
Sabemos que em coordenadas polares:
x = r cos theta
y = r sin theta
dx, dy = r, dr, dtheta
Substituindo na integral dupla:
integral duplaR x, dx, dy = integral duplaR r cos theta cdot r, dr, dtheta = integral duplaR r^2 cos theta, dr, dtheta

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. A região R está delimitada por:
  • theta = pi4
  • theta = 3pi4
  • r = 2
Então, theta varia de pi4 a 3pi4 e r varia de 0 a 2.
A integral fica:
integralpi4^3pi4 integral0^2 r^2 cos theta, dr, dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^2 r^2 cos theta, dr = cos theta integral0^2 r^2, dr = cos theta [ r^33 ]0^2 = cos theta ( 83 - 0 ) = 83 cos theta
Agora, a integral dupla se reduz a:
83 integralpi4^3pi4 cos theta, dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a theta :
integral cos theta, dtheta = sin theta + C
Aplicando os limites:
83 [ sin theta ]pi4^3pi4 = 83 ( sin 3pi4 - sin pi4 )
Sabemos que:
sin pi4 = raiz22, sin 3pi4 = raiz22
Portanto:
83 ( raiz22 - raiz22 ) = 83 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral de linha é 0 .

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