Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
Seja
a região limitada pelas três curvas, cujas equações polares são
, e seja C a linha delimitadora de R , tomada no sentido antihorário. Calcule
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada simples
. A região
é delimitada por três curvas dadas em coordenadas polares:
,
e
. A integral que a gente quer calcular é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e saber transformar integrais de linha em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, identificamos
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos avaliar a integral dupla
. Observando que a região
está descrita em coordenadas polares, é mais fácil convertermos tudo para essas coordenadas.
Sabemos que em coordenadas polares:
Substituindo na integral dupla:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. A região
está delimitada por:
Então,
varia de
a
e
varia de 0 a 2.
A integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral dupla se reduz a:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
:
Aplicando os limites:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O valor da integral de linha é
.