Use o Teorema de Green para calcular a integral
, onde
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. Esse teorema é uma ferramenta poderosa que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ P $ e $ Q $ na integral dada. A integral está na forma:
Comparando, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que:
Onde $ D $ é a região delimitada pela curva $ C $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Sabemos de identidades trigonométricas que:
Portanto, a integral dupla fica:
Isso significa que a integral é simplesmente a área da região $ D $ limitada pela curva $ C $.
Passo 6
Vamos determinar a área da região $ D $. A curva $ C $ é um círculo dado por:
Esse é um círculo de raio $ r = 2 $ centrado no ponto $ (0, -1) $. A área de um círculo é dada por: