Use o Teorema de Green para calcular a integral ointC y tan ^2(x) d x+tan (x) d y, onde C é o círculo x^2+(y+1)^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ointC y tan^2(x) dx + tan(x) dy usando o Teorema de Green. Esse teorema é uma ferramenta poderosa que conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ P $ e $ Q $ na integral dada. A integral está na forma:
P
Comparando, temos:
Q

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde $ D $ é a região delimitada pela curva $ C $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x [tan(x)] = sec^2(x)
partial Ppartial y = partialpartial y [y tan^2(x)] = tan^2(x)
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = sec^2(x) - tan^2(x)

Passo 5

Sabemos de identidades trigonométricas que:
sec^2(x) - tan^2(x) = 1
Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dA
Isso significa que a integral é simplesmente a área da região $ D $ limitada pela curva $ C $.

Passo 6

Vamos determinar a área da região $ D $. A curva $ C $ é um círculo dado por:
D
Esse é um círculo de raio $ r = 2 $ centrado no ponto $ (0, -1) $. A área de um círculo é dada por:
C Á

Resposta

ointC y tan^2(x) dx + tan(x) dy = 4pi

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