Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r onde F(x, y)=(raizx+y^3, x^2+raizy) Considerando C como sendo o arco da curva y=sin x de (0,0) a (pi, 0). (Dica: Nem todas as condições do Teorema são satisfeitas, adicione algo para aplicá-lo.)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y) = ( raizx + y^3, x^2 + raizy ) ao longo da curva C , que é o arco da função y = sin x indo de (0,0) até (pi, 0) . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a conta. Mas o enunciado disse que nem todas as condições do Teorema de Green são satisfeitas, então vamos precisar fechar a curva de alguma forma para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C que delimita uma região D , a integral de linha de F sobre C pode ser transformada em uma integral dupla sobre D da seguinte forma:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Onde F = (P, Q) . No nosso caso, P = raizx + y^3 e Q = x^2 + raizy .

Passo 3

Como a curva C não está fechada (só vai de (0,0) a (pi, 0) ), precisamos fechar a curva para aplicar o Teorema de Green. Vamos fazer isso adicionando o segmento de reta que vai de (pi, 0) de volta para (0,0) . Vamos chamar esse segmento de C' . Agora temos uma curva fechada composta por C e C' .

Passo 4

Agora que temos uma curva fechada Cfechada = C + C' , podemos aplicar o Teorema de Green:
ointCfechada F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Mas queremos apenas a integral sobre C . Então, podemos escrever:
integralC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy - integralC' F cdot dr

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 + raizy ) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y ( raizx + y^3 ) = 3y^2
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 3y^2

Passo 6

Agora, precisamos definir a região D delimitada por C e C' . A curva C é y = sin x de x = 0 a x = pi , e C' é a reta de (pi, 0) a (0, 0) . Então, D é a região entre a curva y = sin x e a linha y = 0 de x = 0 a x = pi .

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla sobre D :
integral duplaD (2x - 3y^2) , dx , dy
Primeiro, vamos integrar em y de 0 a sin x , e depois em x de 0 a pi :
integral0^pi integral0^sin x (2x - 3y^2) , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em y :
integral0^sin x (2x - 3y^2) , dy = 2x cdot y - y^3 g|0^sin x = 2x cdot sin x - (sin x)^3

Passo 9

Agora, integramos em x :
integral0^pi ( 2x sin x - sin^3 x ) , dx
Vamos separar em duas integrais:
2 integral0^pi x sin x , dx - integral0^pi sin^3 x , dx

Passo 10

Calculando integral0^pi x sin x , dx usando integração por partes:
Seja u = x , dv = sin x , dx . Então, du = dx , v = -cos x .
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x
Avaliado de 0 a pi :
- pi cos pi + sin pi - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi
Então,
2 integral0^pi x sin x , dx = 2 pi

Passo 11

Calculando integral0^pi sin^3 x , dx :
Usamos a identidade sin^3 x = 3 sin x - sin 3x4 :
integral sin^3 x , dx = 34 integral sin x , dx - 14 integral sin 3x , dx = -34 cos x + 112 cos 3x + C
Avaliado de 0 a pi :
- 34 cos pi + 112 cos 3pi - ( -34 cos 0 + 112 cos 0 ) = -34 (-1) + 112 (-1) - ( -34 (1) + 112 (1) )
= 34 - 112 - ( -34 + 112 ) = 34 - 112 + 34 - 112 = 64 - 212 = 32 - 16 = 96 - 16 = 86 = 43

Passo 12

Agora, juntando tudo:
integral duplaD (2x - 3y^2) , dx , dy = 2pi - 43 = 6pi - 43 = 6pi3 - 43 = 2pi - 43

Passo 13

Agora, precisamos calcular integralC' F cdot dr , onde C' é a reta de (pi, 0) a (0,0) . Ao longo dessa reta, y = 0 , então dy = 0 .
Assim, F(x, 0) = ( raizx + 0, x^2 + 0 ) = ( raizx, x^2 )
E dr = (dx, 0) , então F cdot dr = raizx , dx
Então,
integralC' F cdot dr = integralpi^0 raizx , dx = - integral0^pi raizx , dx = - ( 23 x^3/2 g|0^pi ) = - 23 pi^3/2

Passo 14

Voltando à expressão original:
integralC F cdot dr = integral duplaD (2x - 3y^2) , dx , dy - integralC' F cdot dr = ( 2pi - 43 ) - ( - 23 pi^3/2 ) = 2pi - 43 + 23 pi^3/2

Resposta

A integral integralC F cdot dr é igual a 2pi - 43 + 23 pi^3/2.

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