Use o Teorema de Green para calcular onde Considerando como sendo o arco da curva de a . (Dica: Nem todas as condições do Teorema são satisfeitas, adicione algo para aplicá-lo.)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é o arco da função indo de até . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a conta. Mas o enunciado disse que nem todas as condições do Teorema de Green são satisfeitas, então vamos precisar fechar a curva de alguma forma para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha de sobre pode ser transformada em uma integral dupla sobre da seguinte forma:
Onde . No nosso caso, e .
Passo 3
Como a curva não está fechada (só vai de a ), precisamos fechar a curva para aplicar o Teorema de Green. Vamos fazer isso adicionando o segmento de reta que vai de de volta para . Vamos chamar esse segmento de . Agora temos uma curva fechada composta por e .
Passo 4
Agora que temos uma curva fechada , podemos aplicar o Teorema de Green:
Mas queremos apenas a integral sobre . Então, podemos escrever:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a diferença é:
Passo 6
Agora, precisamos definir a região delimitada por e . A curva é de a , e é a reta de a . Então, é a região entre a curva e a linha de a .
Passo 7
Vamos calcular a integral dupla sobre :
Primeiro, vamos integrar em de a , e depois em de a :
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em :
Passo 9
Agora, integramos em x :
integral0^pi ( 2x sin x - sin^3 x ) , dx
Vamos separar em duas integrais:
2 integral0^pi x sin x , dx - integral0^pi sin^3 x , dx
Passo 10
Calculando integral0^pi x sin x , dx usando integração por partes:
Seja u = x , dv = sin x , dx . Então, du = dx , v = -cos x .
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x
Avaliado de 0 a pi :
- pi cos pi + sin pi - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi
Então,
2 integral0^pi x sin x , dx = 2 pi
Passo 11
Calculando integral0^pi sin^3 x , dx :
Usamos a identidade sin^3 x = 3 sin x - sin 3x4 :
integral sin^3 x , dx = 34 integral sin x , dx - 14 integral sin 3x , dx = -34 cos x + 112 cos 3x + C
Avaliado de 0 a pi :
- 34 cos pi + 112 cos 3pi - ( -34 cos 0 + 112 cos 0 ) = -34 (-1) + 112 (-1) - ( -34 (1) + 112 (1) )