Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha
quando
e
é a curva formada pelo arco de parábola
do ponto
ao ponto
e a semireta saindo de
até
Passo 1
O enunciado pede para calcular
com
e
fechada composta pelo arco de parábola
de
até
seguido da semireta no eixo
de
até
. Vamos usar o Teorema de Green, que converte a integral de linha em integral dupla sobre a região
interior a
.
Passo 2
Identificamos a integral de linha na forma
com
Pelo Teorema de Green, para contorno orientado positivamente (anti-horário),
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
logo o integrando é
. Como o percurso dado percorre
no sentido horário, a integral pedida inverte o sinal:
Passo 4
A região
é
Portanto
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Então
Expandindo:
Integramos termo a termo:
Somando, obtemos