Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha integralC^F r d r quando F(x, y)=(y, x^2) e C é a curva formada pelo arco de parábola y=1-x^2 do ponto (1,0) ao ponto (-1,0) e a semireta saindo de (-1,0) até (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC Fcdot dr com F(x,y)=(y,x^2) e C fechada composta pelo arco de parábola y=1-x^2 de (1,0) até (-1,0) seguido da semireta no eixo x de (-1,0) até (1,0). Vamos usar o Teorema de Green, que converte a integral de linha em integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Identificamos a integral de linha na forma integralCP,dx+Q,dy com
P(x,y)=y, Q(x,y)=x^2
Pelo Teorema de Green, para contorno orientado positivamente (anti-horário),
ointC P,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=1,
logo o integrando é 2x-1. Como o percurso dado percorre C no sentido horário, a integral pedida inverte o sinal:
integralC Fcdot dr =-integral duplaD(2x-1),dA

Passo 4

A região D é
-1<= x<=1, 0<= y<=1-x^2
Portanto
integralC Fcdot dr =-integralx=-1^1integraly=0^1-x^2(2x-1),dy,dx

Passo 5

Primeiro integramos em y:
integral0^1-x^2(2x-1),dy=(2x-1)(1-x^2)
Então
integralC Fcdot dr =-integral-1^1(2x-1)(1-x^2),dx =integral-1^1(1-2x)(1-x^2),dx
Expandindo:
(1-2x)(1-x^2)=1-2x-x^2+2x^3
Integramos termo a termo:
integral-1^11,dx=2, integral-1^1-2x,dx=0, integral-1^1-x^2,dx=-tfrac23, integral-1^12x^3,dx=0
Somando, obtemos
2-tfrac23=tfrac43

Resposta

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