Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha
quando
e
é a fronteira de quadrado
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a fronteira do quadrado
, percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva). Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre
.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para
com
e
com derivadas parciais contínuas em
,
Aqui temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais que entram no integrando:
Passo 4
Substituindo, a integral de linha vira
Como
é simétrico em relação a
e
, temos
Logo a diferença também vale zero.
Passo 5
Portanto