Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha integralC^F r d r quando F(x, y)=(y^2, x^2) e C é a fronteira de quadrado [-1,1] times[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC Fcdot dr
onde F(x,y)=(y^2,,x^2) e C é a fronteira do quadrado D=[-1,1]times[-1,1], percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva). Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre D.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para F=(P,Q) com P e Q com derivadas parciais contínuas em D,
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui temos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=x^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais que entram no integrando:
partial Qpartial x =partialpartial x(x^2) =2x, partial Ppartial y =partialpartial y(y^2) =2y

Passo 4

Substituindo, a integral de linha vira
ointCFcdot dr =integral duplaD(2x - 2y),dA
Como D=[-1,1]times[-1,1] é simétrico em relação a x=0 e y=0, temos
integral duplaD2x,dA = 2integral-1^1!integral-1^1x,dy,dx = 0, integral duplaD2y,dA = 2integral-1^1!integral-1^1y,dx,dy = 0
Logo a diferença também vale zero.

Passo 5

Portanto
ointCFcdot dr=0

Resposta

0

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