Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar
\mathscr{L}^{-1}\!\biggl(\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}}\biggr).
O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace usando a linearidade e as transformadas conhecidas de potências de s.

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador:
(s+2)^{2} = s^{2} + 4s + 4.

Passo 3

Então podemos escrever
\frac{(s+2)^{2}}{s^{3}} = \frac{s^{2}}{s^{3}} + 4\,\frac{s}{s^{3}} + 4\,\frac{1}{s^{3}} = \frac{1}{s} + \frac{4}{s^{2}} + \frac{4}{s^{3}}.

Passo 4

Aplicando a linearidade e usando as transformadas inversas padrão:
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr)=1, \quad \mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s^{2}}\bigr)=t, \quad \mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s^{3}}\bigr)=\frac{t^{2}}{2},
temos
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr) +4\,\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s^{2}}\bigr) +4\,\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s^{3}}\bigr) =1 + 4t + 4\cdot\frac{t^{2}}{2}.

Resposta

1 + 4t + 2t^{2}.

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