Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s}+\frac{6}{s^{5}}-\frac{1}{s+8}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathscr{L}^{-1}\!\Bigl(\frac{4}{s}+\frac{6}{s^{5}}-\frac{1}{s+8}\Bigr)
O conteúdo é transformada inversa de Laplace, e vamos usar o Teorema 4.3 (linearidade) combinado com fórmulas básicas da tabela.

Passo 2

Pelo Teorema 4.3 (linearidade),
\mathscr{L}^{-1}\bigl(aF(s)+bG(s)\bigr) = a\,\mathscr{L}^{-1}\bigl(F(s)\bigr) + b\,\mathscr{L}^{-1}\bigl(G(s)\bigr).
Aplicamos isso separando as três parcelas \tfrac{4}{s}, \tfrac{6}{s^{5}} e -\tfrac{1}{s+8}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{4}{s} e \displaystyle \frac{6}{s^{5}} usamos a fórmula
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s^{n+1}}\bigr) =\frac{t^{n}}{n!}.
No caso n=0 \mathscr{L}^{-1}(1/s)=1, então
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{4}{s}\bigr)=4\cdot 1=4.
E para n=4 ( s^{5}=s^{4+1})
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{6}{s^{5}}\bigr) =6\cdot\frac{t^{4}}{4!} =6\cdot\frac{t^{4}}{24} =\frac{t^{4}}{4}.

Passo 4

Para \displaystyle -\frac{1}{s+8} usamos
\mathscr{L}\{e^{-8t}\}=\frac{1}{s+8}\quad\Longrightarrow\quad \mathscr{L}^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s+8}\bigr)=e^{-8t},
logo
\mathscr{L}^{-1}\!\Bigl(-\frac{1}{s+8}\Bigr) =-e^{-8t}.

Passo 5

Somando as três partes obtidas pela linearidade, temos
f(t) =4 + \frac{t^{4}}{4} - e^{-8t}.

Resposta

\boxed{4 + \frac{t^{4}}{4} - e^{-8t}.}

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