Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+3 s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de \displaystyle \frac{1}{s^{2}+3s}. Vamos usar o Teorema 4.3, que garante a linearidade da transformada de Laplace e o reconhecimento de formas conhecidas, e decompor em frações parciais.

Passo 2

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{s(s+3)} \;=\;\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+3), vem
1 = A(s+3) + B\,s = (A+B)\,s + 3A.
Igualando coeficientes de s e termos constantes:
A+B = 0, \quad 3A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{3},\;B=-\frac{1}{3}.
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\frac{1}{s(s+3)} = \frac{\tfrac{1}{3}}{s} - \frac{\tfrac{1}{3}}{s+3}.

Passo 3

Aplicando a transformada inversa termo a termo, sabendo que
\mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathscr{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+3}\}=e^{-3t},
e usando linearidade, obtemos
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s(s+3)}\Bigr\} = \frac{1}{3}\cdot 1 \;-\;\frac{1}{3}\,e^{-3t} = \frac{1}{3}\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).

Resposta

\frac{1}{3}\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).

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