Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=y \vec{i}-x \vec{j}+z \vec{k}
e
\Omega
é composto de parte do cilindro
x{2}+y{2}=1
situado entre os planos
z=0
e
z=1
e da parte do plano
z=1
situado dentro do cilindro
x{2}+y{2}=1
. O vetor normal é tal que na superfície do cilindro ele se afasta do eixo
z
, e no plano
z=1
ele aponta na direção positiva de
z
.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde \gamma é a borda da superfície \Omega. Temos
\displaystyle \vec{F}=y\,\vec{i}-x\,\vec{j}+z\,\vec{k}
e \Omega é composta pela parte lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=1, 0\le z\le1, com normal radial para fora do eixo z, e pelo disco no plano z=1 dentro do cilindro, com normal apontando para cima. Pelo Teorema de Stokes:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{\Omega}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec{F}:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ y & -x & z \end{vmatrix} =-2\,\vec{k}.

Passo 3

Escrevemos a integral de fluxo em duas partes, S_{1} (cilindro) e S_{2} (disco em z=1):
\iint_{\Omega}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{S_{1}}(-2\vec{k})\cdot\vec{n}_{1}\,dS +\iint_{S_{2}}(-2\vec{k})\cdot\vec{n}_{2}\,dS.

Passo 4

Na parte lateral S_{1}, \vec{n}_{1}=(x,y,0). Logo
\vec{k}\cdot\vec{n}_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S_{1}}(-2\vec{k})\cdot\vec{n}_{1}\,dS=0.

Passo 5

No disco S_{2} de raio 1 em z=1, \vec{n}_{2}=(0,0,1). Então
\vec{k}\cdot\vec{n}_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S_{2}}(-2\vec{k})\cdot\vec{n}_{2}\,dS =-2\iint_{S_{2}}1\,dS =-2\pi.

Passo 6

Somando as duas partes e aplicando Stokes,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} =-2\pi.

Resposta

-2\pi

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