Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=y \vec{i}-x \vec{j}+z \vec{k}
e
\Omega
é composto de parte do cilindro
x{2}+y{2}=1
situado entre os planos
z=0
e
z=1
e da parte do plano
z=1
situado dentro do cilindro
x{2}+y{2}=1
. O vetor normal é tal que na superfície do cilindro ele se afasta do eixo
z
, e no plano
z=1
ele aponta na direção positiva de
z
.
Passo 1
O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde \gamma é a borda da superfície \Omega. Temos \displaystyle \vec{F}=y\,\vec{i}-x\,\vec{j}+z\,\vec{k}
e \Omega é composta pela parte lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=1, 0\le z\le1, com normal radial para fora do eixo z, e pelo disco no plano z=1 dentro do cilindro, com normal apontando para cima. Pelo Teorema de Stokes: