Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é orientada no sentido anti-horário.
\vec{F}=x z \vec{i}+y^{2} \vec{j}+x^{2} \vec{k}
onde
\gamma
é a interseção do plano
x+y+z=5
e do cilindro elíptico
x{2}+\frac{y{2}}{4}=1
.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\displaystyle \oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
pela interseção da reta curva \gamma do plano x+y+z=5 com o cilindro elíptico x^2+\tfrac{y^2}{4}=1, orientada no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot \vec n\,dS
onde S é a porção do plano limitada por \gamma e \vec n é o vetor normal compatível com a orientação anti-horária vista do lado de \vec n.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec F(x,y,z)=xz\,\vec i + y^2\,\vec j + x^2\,\vec k:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ xz & y^2 & x^2 \end{vmatrix} =\bigl(0,\,-x,\,0\bigr).

Passo 3

Escolhemos S como a superfície definida por
z=5 - x - y
no interior do cilindro elíptico projetado no plano xy. Para superfícies dadas por z=h(x,y), o elemento orientado é
\vec n\,dS =\bigl(-h_x,\,-h_y,\,1\bigr)\,dA =\bigl(1,\,1,\,1\bigr)\,dA,
pois h_x=-1 e h_y=-1. Assim
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n =(0,\,-x,\,0)\cdot(1,1,1)=-x
e a integral de superfície fica
\iint_{D}-x\,dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^2+\tfrac{y^2}{4}\le1\}.

Passo 4

O domínio D é simétrico em relação ao eixo y, enquanto a função -x é ímpar em x. Logo
\iint_{D}-x\,dA=0.

Resposta

\oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r = 0.

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