Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é orientada no sentido anti-horário.
\vec{F}=x z \vec{i}+y^{2} \vec{j}+x^{2} \vec{k}
onde
\gamma
é a interseção do plano
x+y+z=5
e do cilindro elíptico
x{2}+\frac{y{2}}{4}=1
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
pela interseção da reta curva \gamma do plano x+y+z=5 com o cilindro elíptico x^2+\tfrac{y^2}{4}=1, orientada no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot \vec n\,dS
onde S é a porção do plano limitada por \gamma e \vec n é o vetor normal compatível com a orientação anti-horária vista do lado de \vec n.
Passo 2
Calculamos o rotacional de \vec F(x,y,z)=xz\,\vec i + y^2\,\vec j + x^2\,\vec k: