Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é a curva de interseção do plano
com o cilindro
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de circulação ao longo de uma curva fechada
com uma integral de superfície sobre uma superfície
limitada por
. A fórmula é:
Onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Aplicando isso ao nosso
:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
. Podemos expressar
em função de
e
a partir do plano:
Então, a superfície
pode ser descrita por
com
.
Passo 5
Vamos determinar o vetor normal à superfície. Para o plano
, o vetor normal é
. Como a orientação é anti-horária vista de cima, esse vetor normal está na direção correta (para cima).
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes, a integral de superfície fica:
Onde
é a projeção de
no plano
, que é o círculo
.
Passo 7
Para facilitar a integração sobre o domínio circular
, vamos usar coordenadas polares:
O elemento de área em coordenadas polares é
. Além disso, o limite para
é de 0 a 3 e para
de 0 a
.
Passo 8
Substituindo
e
na integral:
Simplificando:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que:
E:
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.