Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x^2 z, x y^2, z^2) e C é a curva de interseção do plano x+y+z=3 com o cilindro x^2+y^2=9 orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície integralC F cdot dS , onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x^2 z, x y^2, z^2) . A curva C é a interseção do plano x + y + z = 3 com o cilindro x^2 + y^2 = 9 , orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície limitada por C .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de circulação ao longo de uma curva fechada C com uma integral de superfície sobre uma superfície S limitada por C . A fórmula é:
integralC F cdot dS = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F . Para um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) , o rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Aplicando isso ao nosso F :
partial Fzpartial y - partial Fypartial z &= 0 - 2xy = -2xy partial Fxpartial z - partial Fzpartial x &= x^2 - 0 = x^2 partial Fypartial x - partial Fxpartial y &= y^2 - 0 = y^2
Então,
nabla times F = (-2xy, x^2, y^2)

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície S . A curva C é a interseção do plano x + y + z = 3 com o cilindro x^2 + y^2 = 9 . Podemos expressar z em função de x e y a partir do plano:
z = 3 - x - y
Então, a superfície S pode ser descrita por z = 3 - x - y com x^2 + y^2 <= 9 .

Passo 5

Vamos determinar o vetor normal à superfície. Para o plano x + y + z = 3 , o vetor normal é n = (1, 1, 1) . Como a orientação é anti-horária vista de cima, esse vetor normal está na direção correta (para cima).

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (-2xy + x^2 + y^2) , dx , dy
Onde D é a projeção de S no plano xy , que é o círculo x^2 + y^2 <= 9 .

Passo 7

Para facilitar a integração sobre o domínio circular D , vamos usar coordenadas polares:
x = r costheta, y = r sintheta
O elemento de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta . Além disso, o limite para r é de 0 a 3 e para theta de 0 a 2pi .

Passo 8

Substituindo x e y na integral:
integral duplaD (-2xy + x^2 + y^2) , dx , dy = integral0^2pi integral0^3 ( -2r^2 sintheta costheta + r^2 ) r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^3 ( -2r^3 sintheta costheta + r^3 ) , dr , dtheta

Passo 9

Integrando em relação a r :
integral0^3 -2r^3 sintheta costheta , dr = -2 sintheta costheta [ r^44 ]0^3 = -2 sintheta costheta cdot 814 = -812 sintheta costheta
integral0^3 r^3 , dr = [ r^44 ]0^3 = 814
Então, a integral fica:
integral0^2pi ( -812 sintheta costheta + 814 ) dtheta

Passo 10

Agora, integramos em relação a theta :
- 812 integral0^2pi sintheta costheta , dtheta + 814 integral0^2pi dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sintheta costheta , dtheta = 0
E:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
- 812 cdot 0 + 814 cdot 2pi = 812 pi

Resposta

O valor da integral é dfrac812 pi .

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