Use o teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot dS, onde
F(x, y, z)=x^2 e^y z i+y^2 e^x^2 j+z^2 e^x y k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4, >= 0 e com orientação para cima;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial F sobre S, que é o hemisfério definido por x^2 + y^2 + z^2 = 4 com z >= 0 e orientação para cima. Basicamente, vamos aplicar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre rotacionais e teoremas que relacionam integrais de superfície com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda de S, que chamamos de C. A fórmula do teorema é:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointC F cdot dr
Então, para calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda do hemisfério.

Passo 3

Vamos identificar a borda C do hemisfério S. Como S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 4 com z >= 0, a borda C é o círculo na base do hemisfério, onde z = 0. Então, C é o círculo x^2 + y^2 = 4 no plano z = 0.

Passo 4

Agora, parametrizamos a curva C. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir:
x = 2 cos theta y = 2 sin theta z = 0
com theta variando de 0 a 2pi. O vetor posição r(theta) fica:
r(theta) = 2 cos theta , i + 2 sin theta , j + 0 , k

Passo 5

Agora, precisamos calcular dr, que é a derivada de r(theta) em relação a theta:
drdtheta = -2 sin theta , i + 2 cos theta , j + 0 , k dr = drdtheta dtheta = (-2 sin theta , i + 2 cos theta , j) dtheta

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de x, y, e z na expressão do campo vetorial F:
F(x, y, z) = x^2 e^y z i + y^2 e^x^2 j + z^2 e^x y k
Como z = 0 na curva C, temos:
F(2 cos theta, 2 sin theta, 0) = (4 cos^2 theta cdot e^0) i + (4 sin^2 theta cdot e^4 cos^2 theta) j + 0 k = 4 cos^2 theta , i + 4 sin^2 theta e^4 cos^2 theta , j

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (4 cos^2 theta)(-2 sin theta) + (4 sin^2 theta e^4 cos^2 theta)(2 cos theta) = -8 cos^2 theta sin theta + 8 sin^2 theta cos theta e^4 cos^2 theta

Passo 8

Agora, a integral de linha fica:
ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -8 cos^2 theta sin theta + 8 sin^2 theta cos theta e^4 cos^2 theta ) dtheta
Essa integral pode ser complicada para resolver diretamente, mas observando os termos, notamos que eles são funções periódicas e ímpares sobre o intervalo de 0 a 2pi, o que implica que a integral total será zero.

Resposta

Portanto, integral duplaS rot F cdot dS = 0.

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