Use o teorema de Stokes para calcular
, onde
, S é o hemisfério
e com orientação para cima;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial
sobre
, que é o hemisfério definido por
com
e orientação para cima. Basicamente, vamos aplicar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre rotacionais e teoremas que relacionam integrais de superfície com integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
com a integral de linha de
ao longo da borda de
, que chamamos de
. A fórmula do teorema é:
Então, para calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda do hemisfério.
Passo 3
Vamos identificar a borda
do hemisfério
. Como
é o hemisfério
com
, a borda
é o círculo na base do hemisfério, onde
. Então,
é o círculo
no plano
.
Passo 4
Agora, parametrizamos a curva
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir:
com
variando de
a
. O vetor posição
fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores de
,
, e
na expressão do campo vetorial
:
Como
na curva
, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 8
Agora, a integral de linha fica:
Essa integral pode ser complicada para resolver diretamente, mas observando os termos, notamos que eles são funções periódicas e ímpares sobre o intervalo de
a
, o que implica que a integral total será zero.
Resposta
Portanto,
.