é a curva
.
Passo 1
O enunciado fornece a campo vetorial
e a curva parametrizada
O que vamos calcular é a integral de linha fechada
Lista das informações relevantes dadas:
- As componentes da força/field são
, e . - A curva
tem projeção no plano dada por , que é um círculo de centro e raio . - A coordenada
satisfaz, pela parametrização, . Reescrevendo em função de (peguei isso da parametrização), obtemos
Passo 2
Primeiro, escrevo a integral de linha como soma dos termos escalares:
Agora uso a relação da superfície onde a curva vive: como
(obtida da parametrização), ao diferenciar temos
Isso permite eliminar
trocando a integral em
por uma integral apenas em
. Substituindo
na integral,
Agrupando termos,
Chamo
Assim a integral de linha fechada fica numa forma à qual posso aplicar o Teorema de Green (porque agora é uma integral sobre uma curva fechada no plano
):
Passo 3
Vou aplicar o Teorema de Green: para uma curva simples e fechada
que orientamos positivamente (contra-horário), temos
onde
é a região do plano
limitada por
. Preciso então calcular o rotacional planar
Antes, explico como derivar
via regra da cadeia: se
e
, então
mas aqui
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo; como
originalmente depende só de
(veja
), temos
. Portanto
. Igualmente
.
Agora computo as derivadas das componentes originais:
Usando
e
,
Substituo
e
; esses termos em
se cancelam:
Portanto o integrando de Green simplifica lindamente para
:
Passo 4
Identifico a região
no plano
: como
e
, a projeção de
em
é o círculo
ou seja, o disco centrado em
de raio
. Pelo Teorema de Green:
Passo 5
Agora calculo a integral dupla
. Faço uma mudança de variável simples para aproveitar a simetria: defina
então
vira o disco unitário centrado em
e
. O elemento de área permanece
. Assim
Pelo fato de
ser simétrico em torno da origem,
(a contribuição positiva de um lado cancela a negativa do outro). Já
é simplesmente a área do disco unitário, que vale
. Portanto
Passo 6
Verifico rapidamente a orientação para garantir o sinal: a parametrização
com
indo de
a
descreve o círculo no sentido anti-horário (contra-horário) quando visto de cima — isso é a orientação positiva usada no Teorema de Green. Logo não há troca de sinal a fazer.