Use o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC(x d x+y d y+z^2 d z), onde C é o perímetro do retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 4, z=4, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCl(x,dx + y,dy + z^2,dzr),
onde C é o contorno do retângulo 0<= x<=2, 0<= y<=4 no plano z=4, orientado no sentido anti-horário (visto de cima). Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional do campo.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz
ointC Fcdot d r ;=;integral duplaS(nablatimes F),cdot d S,
onde F=(P,Q,R)=(x,y,z^2) e S é a superfície plana limitada por C.

Passo 3

Calculamos o rotacional de F:
nabla times F = partialpartial y(z^2)-partialpartial z(y)[6pt] partialpartial z(x)-partialpartial x(z^2)[4pt] partialpartial x(y)-partialpartial y(x) =000 ]

Passo 4

A superfície S é o próprio retângulo em z=4. Como C está percorrido anti-horário visto de cima, o vetor normal unitário resultante pelo “regra da mão direita” é
n = +, k

Passo 5

Substituindo no Teorema de Stokes,
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaS 0cdot k,dS =0
Logo a integral de linha também vale zero.

Resposta

0

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