Verifique se a função f(x)=ccc3 x+3 & se & x<-1 x^2-1 & se & -1 <= x <= 1 x^3-5 x & se & x>1 é contínua em (-infty,+infty).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= 3x+3, & x<-1, x^2-1, & -1<= x<= 1, x^3-5x, & x>1
Queremos estudar a continuidade em (-infty,+infty). Sabendo que polinômios são contínuos em toda parte, basta verificar os pontos de transição x=-1 e x=1 usando limites laterais.

Passo 2

Em cada intervalo aberto (-infty,-1), (-1,1) e (1,infty) a função é polinomial, logo contínua nesses intervalos. Falta analisar x=-1 e x=1.

Passo 3

Verificação em x=-1:
  • Limite pela esquerda:
    limxto -1^-f(x)=limxto -1^-(3x+3)=3(-1)+3=0
  • Limite pela direita:
    limxto -1^+f(x)=limxto -1^+(x^2-1)=(-1)^2-1=0
  • Valor:
    f(-1)=(-1)^2-1=0
    Como limxto-1^-f(x)=limxto-1^+f(x)=f(-1), f é contínua em x=-1.

Passo 4

Verificação em x=1:
  • Limite pela esquerda:
    limxto 1^-f(x)=limxto 1^-(x^2-1)=1^2-1=0
  • Limite pela direita:
    limxto 1^+f(x)=limxto 1^+(x^3-5x)=1^3-5cdot1=-4
  • Valor:
    f(1)=1^2-1=0
    Aqui limxto1^-f(x)=0neq -4=limxto1^+f(x), logo há descontinuidade em x=1.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos, exceto em x=1, onde ocorre descontinuidade (saltos de 0 para -4). Portanto, não é contínua em (-infty,+infty), mas apenas em Rsetminus1.

Exercícios relacionados