Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão quer que a gente use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge. A série harmônica é aquela que soma os inversos dos números naturais, ou seja:
sumn=1^infty 1n
Para resolver isso, precisamos entender o que é o teste da integral e como aplicá-lo para analisar o comportamento dessa série.

Passo 2

O teste da integral é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Ele funciona assim: se temos uma série da forma , onde é uma função positiva, contínua e decrescente, podemos comparar essa série com a integral de de 1 até o infinito.
Se a integral converge, então a série também converge. Mas se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

No caso da série harmônica, temos integral1^infty 1x , dx . Vamos considerar a função contínua para . Agora, vamos calcular a integral de de 1 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, sabemos que a antiderivada de integral1^infty 1x , dx = limb to infty ( ln b - ln 1 ) é limb to infty ln b . Então, avaliamos os limites:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, analisamos o limite limb to infty ln b = infty . Sabemos que o logaritmo natural cresce sem limites conforme aumenta. Portanto, esse limite é infinito, ou seja:

Resposta

Como a integral sumn=1^infty 1n diverge para o infinito, pelo teste da integral, concluímos que a série harmônica:
diverge.

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