Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão quer que a gente use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge. A série harmônica é aquela que soma os inversos dos números naturais, ou seja:
Para resolver isso, precisamos entender o que é o teste da integral e como aplicá-lo para analisar o comportamento dessa série.
Passo 2
O teste da integral é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. Ele funciona assim: se temos uma série da forma
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente, podemos comparar essa série com a integral de
de 1 até o infinito.
Se a integral
converge, então a série também converge. Mas se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
No caso da série harmônica, temos
. Vamos considerar a função contínua
para
. Agora, vamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, sabemos que a antiderivada de
é
. Então, avaliamos os limites:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Agora, analisamos o limite
. Sabemos que o logaritmo natural cresce sem limites conforme
aumenta. Portanto, esse limite é infinito, ou seja:
Resposta
Como a integral
diverge para o infinito, pelo teste da integral, concluímos que a série harmônica:
diverge.