Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Definição: A equação
é chamada equação de Laplace. As soluções
dessa equação são chamadas funções harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função u(x,y)=x³+3xy² satisfaz a equação de Laplace, que é
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de u.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
Passo 4
Somamos as derivadas de segunda ordem para verificar a equação de Laplace:
Como esse resultado não é zero para todo par (x,y), a função não é harmônica.
Resposta
A função não satisfaz a equação de Laplace, pois
, que não é zero em geral.