Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
u(x, y)=x^3+3 x y^2
Definição: A equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções u(x, y) dessa equação são chamadas funções harmônicas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,y)=x³+3xy² satisfaz a equação de Laplace, que é
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de u.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
partial upartial x=3x^2+3y^2,
partial upartial y=6xy

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
partial^2upartial x^2=partialpartial x(3x^2+3y^2)=6x,
partial^2upartial y^2=partialpartial y(6xy)=6x

Passo 4

Somamos as derivadas de segunda ordem para verificar a equação de Laplace:
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=6x+6x=12x
Como esse resultado não é zero para todo par (x,y), a função não é harmônica.

Resposta

A função não satisfaz a equação de Laplace, pois partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=12x, que não é zero em geral.

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