Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z^{3}(z-4)} d z ;
|z|=1
\oint_{C} \frac{1}{z^{3}(z-4)} d z ;
|z|=1
Passo 1
Resumindo o enunciado: calcular
com
. O conteúdo necessário é o Teorema dos Resíduos e a fórmula para resíduo em pólo de ordem
.
Passo 2
As singularidades de
são
(pólo de ordem 3) e
(pólo simples). Como
, apenas
está dentro do contorno.
Passo 3
Pelo Teorema 5.5.2 (Teorema dos Resíduos), temos
Passo 4
Para calcular
usamos o Teorema 5.5.1 (resíduo em pólo de ordem
), que afirma
Passo 5
Primeiro note que
. Então calculamos as derivadas:
Avaliando em
e multiplicando por
resulta
Passo 6
Substituindo no Teorema dos Resíduos, a integral é
vezes o resíduo calculado.
Resposta
-\frac{\pi i}{32}