Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z^{3}(z-4)} d z ;
|z|=1

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular ointC 1z^3(z-4),dz com C:|z|=1. O conteúdo necessário é o Teorema dos Resíduos e a fórmula para resíduo em pólo de ordem m.

Passo 2

As singularidades de f(z)=1z^3(z-4) são z=0 (pólo de ordem 3) e z=4 (pólo simples). Como |z|=1, apenas z=0 está dentro do contorno.

Passo 3

Pelo Teorema 5.5.2 (Teorema dos Resíduos), temos
ointC f(z),dz = 2pi i sumpólos internos Res(f,zk) = 2pi i,Res(f,0) ó

Passo 4

Para calcular Res(f,0) usamos o Teorema 5.5.1 (resíduo em pólo de ordem m), que afirma
Res(f,0) = 1(m-1)!limzto0 d^m-1dz^m-1 l[z^m f(z)r], m=3

Passo 5

Primeiro note que z^3 f(z) = 1z-4. Então calculamos as derivadas:
ddz1z-4 = -1(z-4)^2,
d^2dz^21z-4 = 21(z-4)^3
Avaliando em z=0 e multiplicando por 12! resulta
Res(f,0) = 12cdot2(-4)^3 = -164

Passo 6

Substituindo no Teorema dos Resíduos, a integral é 2pi i vezes o resíduo calculado.
ointC 1z^3(z-4),dz=2pi i cdot (-164)=-pi i32

Resposta

-\frac{\pi i}{32}

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