Use o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4^{n}}{3^{n}-2};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{3^n - 2}
converge ou diverge usando o teste de comparação. Vamos comparar com uma série geométrica cujos termos conhecemos bem.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1, temos
3^n - 2 \le 3^n
e portanto
\frac{4^n}{3^n - 2} \ge \frac{4^n}{3^n} = \biggl(\frac{4}{3}\biggr)^n.
Chamemos
b_n = \bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^n,
que é o termo de uma série geométrica de razão q=\tfrac{4}{3}>1.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^n
é divergente (porque q>1 faz os somatórios crescerem sem limite). Como 0 \le b_n \le a_n e \sum b_n diverge, o teste de comparação direta nos diz que
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{3^n - 2}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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