Use o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n \sqrt[3]{n}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad\text{onde}\quad a_n = \frac{\operatorname{arctg}n}{n\,\sqrt[3]{n}}.
O conteúdo aplicado será o teste de comparação com uma série p-série do tipo \sum 1/n^p.

Passo 2

Para usar comparação, note que, para todo n\ge1,
0 < \operatorname{arctg}n < \frac{\pi}{2}.
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0 < a_n = \frac{\operatorname{arctg}n}{n\,\sqrt[3]{n}} < \frac{\frac{\pi}{2}}{n\,\sqrt[3]{n}} = \frac{\pi/2}{n^{4/3}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n^{4/3}} é uma p-série com p=4/3>1, ela converge. Pelo teste da comparação direta, a série \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{arctg}n}{n\,\sqrt[3]{n}} é convergente.

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