Use um teste de comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1} R .: diverge

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}
e pede que se use um teste de comparação para decidir se ela converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula do termo geral é \dfrac{\sqrt{n}}{n-1}.
  • Observação importante: para n=1 o denominador n-1 é zero, então o termo n=1 não está definido. Como não posso pedir esclarecimentos, vou assumir a interpretação usual quando isso aparece em exercícios: a soma começa efetivamente em n=2. Assim trabalharei com a série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}.
  • O que se pede: determinar convergência ou divergência usando um teste de comparação (pode ser o teste de comparação simples ou o teste de comparação limite).

Passo 2

Ideia heurística e escolha da série para comparar. Para n grande, n-1 é aproximadamente n, então
\frac{\sqrt{n}}{n-1}\approx\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Isso sugere comparar com a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com
a_n=\frac{\sqrt{n}}{n-1}\qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{1}{\sqrt{n}},\quad n\ge2,
porque b_n é mais simples e tem comportamento conhecido.

Passo 3

Declarar o teste que vou usar (explicando didaticamente). O teste da comparação por limite diz o seguinte:
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n suficientemente grande e existe o limite finito
\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
com 0<\ell<+\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
Explicando em palavras: se os termos a_n e b_n são equivalentes a uma constante multiplicativa para n grande, então somá-los dará resultados iguais quanto à convergência. É uma forma precisa de transformar o “aproxima-se” heurístico em argumento rigoroso.

Passo 4

Verificar as hipóteses: para n\ge2 temos a_n>0 e b_n>0, logo podemos aplicar o teste. Calcular o limite pedido:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{\sqrt{n}}{n-1}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\frac{\sqrt{n}\,\sqrt{n}}{n-1} =\frac{n}{n-1}.
Agora calcular o limite quando n\to\infty. Uma forma clara é dividir numerador e denominador por n:
\frac{n}{n-1}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{n}}\quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=\frac{1}{1-0}=1.
Portanto o limite \ell existe e vale \ell=1, que satisfaz 0<\ell<+\infty.

Passo 5

Concluir a partir do teste por limite: como \ell=1\in(0,+\infty), a série \sum a_n converge ou diverge juntamente com \sum b_n. Agora preciso decidir o comportamento de \sum b_n, onde
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2}.

Passo 6

Analisar a série \sum_{n=2}^{\infty} n^{-1/2}. Esta é uma série do tipo p-série \sum n^{-p} com p=\tfrac{1}{2}. Fato conhecido (e facilmente justificável pelo teste da integral): a p-série \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Como aqui p=\tfrac{1}{2}<1, a série \sum n^{-1/2} diverge. (Raciocínio rápido do teste da integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx= \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty}=+\infty, logo a série diverge.)

Passo 7

Conclusão final: \sum b_n = \sum n^{-1/2} diverge e, pelo teste da comparação por limite com razão limite 1, a série original
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n-1}
também diverge. Lembrando a observação inicial: se alguém interpretar literalmente o somatório começando em n=1, aí o termo n=1 é indefinido (divisão por zero), o que já mostra problema na formulação; portanto a interpretação usual (soma a partir de n=2) leva à divergência.

Resposta

Diverge.

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