Use um teste de comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
diverge
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que se use um teste de comparação para decidir se ela converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fórmula do termo geral é
. - Observação importante: para
o denominador é zero, então o termo não está definido. Como não posso pedir esclarecimentos, vou assumir a interpretação usual quando isso aparece em exercícios: a soma começa efetivamente em . Assim trabalharei com a série
- O que se pede: determinar convergência ou divergência usando um teste de comparação (pode ser o teste de comparação simples ou o teste de comparação limite).
Passo 2
Ideia heurística e escolha da série para comparar. Para
grande,
é aproximadamente
, então
Isso sugere comparar com a série
. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com
porque
é mais simples e tem comportamento conhecido.
Passo 3
Declarar o teste que vou usar (explicando didaticamente). O teste da comparação por limite diz o seguinte:
- Se
e para todo suficientemente grande e existe o limite finito
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
Explicando em palavras: se os termos
e
são equivalentes a uma constante multiplicativa para
grande, então somá-los dará resultados iguais quanto à convergência. É uma forma precisa de transformar o “aproxima-se” heurístico em argumento rigoroso.
Passo 4
Verificar as hipóteses: para
temos
e
, logo podemos aplicar o teste. Calcular o limite pedido:
Agora calcular o limite quando
. Uma forma clara é dividir numerador e denominador por
:
Portanto o limite
existe e vale
, que satisfaz
.
Passo 5
Concluir a partir do teste por limite: como
, a série
converge ou diverge juntamente com
. Agora preciso decidir o comportamento de
, onde
Passo 6
Analisar a série
. Esta é uma série do tipo p-série
com
. Fato conhecido (e facilmente justificável pelo teste da integral): a p-série
converge se, e somente se,
. Como aqui
, a série
diverge. (Raciocínio rápido do teste da integral:
, logo a série diverge.)
Passo 7
Conclusão final:
diverge e, pelo teste da comparação por limite com razão limite
, a série original
também diverge. Lembrando a observação inicial: se alguém interpretar literalmente o somatório começando em
, aí o termo
é indefinido (divisão por zero), o que já mostra problema na formulação; portanto a interpretação usual (soma a partir de
) leva à divergência.
Resposta
Diverge.