Use o teste da comparação do limite para estudar a natureza das séries :
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, usando o teste da comparação por limite. Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos precisar do fato de que a série harmônica
é divergente.
Passo 2
Definimos
Note que ambos são positivos para todo
. Vamos aplicar o teste da comparação por limite entre
e
.
Passo 3
Calculamos o limite
Como para grandes
o termo constante
é desprezível frente a
, temos
Passo 4
O valor
é finito e estritamente maior que zero. Pelo teste da comparação por limite, as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Como a série harmônica
é divergente, segue que
também é divergente.
Resposta
A série diverge.