Use o teste da comparação do limite para estudar a natureza das séries :
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n+6}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5n+6}
é convergente ou divergente, usando o teste da comparação por limite. Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos precisar do fato de que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{1}{5n+6} \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac{1}{n}.
Note que ambos são positivos para todo n. Vamos aplicar o teste da comparação por limite entre a_n e b_n.

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{5n+6}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+6}.
Como para grandes n o termo constante 6 é desprezível frente a 5n, temos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+6} = \frac{1}{5}.

Passo 4

O valor L = \tfrac{1}{5} é finito e estritamente maior que zero. Pelo teste da comparação por limite, as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência. Como a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n} é divergente, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5n+6}
também é divergente.

Resposta

A série diverge.

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