Use o teste da comparação do limite para estudar a natureza das séries :
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza da série
usando o teste da comparação do limite. O conteúdo é comparar assintoticamente com uma série-p. Pela forma do termo geral, suspeitamos que a série se comporte como , pois
quando
.
usando o teste da comparação do limite. O conteúdo é comparar assintoticamente com uma série-p. Pela forma do termo geral, suspeitamos que a série se comporte como
Passo 2
Definamos
e
A série
é uma série-p com
, logo converge.
Passo 3
Para aplicar o teste da comparação do limite, calculamos
Passo 4
Observe que
. Assim
Como
quando
, temos
e
. Logo
Passo 5
Como
, pelo teste da comparação do limite as séries
e
têm o mesmo comportamento. Já que
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge.