Use o teste da comparação do limite para estudar a natureza das séries :
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \sin \left(\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^{3}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\sin\bigl(\frac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{n^{3}+1}}
usando o teste da comparação do limite. O conteúdo é comparar assintoticamente com uma série-p. Pela forma do termo geral, suspeitamos que a série se comporte como \frac{1}{n^{3/2}}, pois \sin(1/n)\approx1/n quando n\to\infty.

Passo 2

Definamos
a_n = \frac{n\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{n^{3}+1}}
e
b_n = \frac{1}{n^{3/2}}.
A série \sum b_n é uma série-p com p=\tfrac{3}{2}>1, logo converge.

Passo 3

Para aplicar o teste da comparação do limite, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{n\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{n^{3}+1}}}{\displaystyle \frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\,n^{3/2}}{\sqrt{n^{3}+1}}.

Passo 4

Observe que \sqrt{n^{3}+1}=n^{3/2}\sqrt{1+1/n^{3}}. Assim
\frac{n\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\,n^{3/2}}{\sqrt{n^{3}+1}} = \frac{n\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\,n^{3/2}}{n^{3/2}\sqrt{1+1/n^{3}}} = \frac{n\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{1+1/n^{3}}}.
Como \sin(1/n)\sim 1/n quando n\to\infty, temos n\sin(1/n)\to1 e \sqrt{1+1/n^{3}}\to1. Logo
L = 1.

Passo 5

Como 0<L<\infty, pelo teste da comparação do limite as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Já que \sum b_n converge, concluímos que \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{n^{3}+1}} converge.

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