Use o teste da comparação ou o teste da comparação no limite, para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{1+\ln (n)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{1+\ln(n)}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação (direta) ou o teste da comparação no limite. Vou listar claramente o que sabemos:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{1+\ln(n)} para n\ge2.
  • O objetivo é decidir convergência ou divergência da série \sum_{n=2}^{\infty} a_n aplicando um dos testes de comparação indicados.

Passo 2

Vou explicar rapidamente os testes que vou usar (de forma didática e sem pular etapas).
Teste da comparação direta (forma útil aqui):
  • Se 0\le b_n\le a_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.
  • Intuição: se os termos a_n são maiores do que os termos de uma série que já diverge, então somá-los não pode dar uma soma finita.
Teste da comparação no limite:
  • Se a_n>0, b_n>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
  • Intuição: se os termos têm razão limite finita e não nula, eles são do mesmo “tamanho assintótico”.
Vou preferir o teste de comparação direta neste problema, comparando com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir.

Passo 3

Escolha do comparador e justificativa:
  • Tomar b_n=\dfrac{1}{n}. A série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n} (série harmônica, começando em n=2) é divergente — por exemplo, pelo teste integral: \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx=\infty.
  • Se eu mostrar que, para todo n\ge2, vale
\frac{1}{1+\ln(n)} \ge \frac{1}{n},
então, por comparação direta com a série harmônica divergente, concluo que a série dada diverge.

Passo 4

Provar a desigualdade entre os termos:
  • Parto de \dfrac{1}{1+\ln(n)} \ge \dfrac{1}{n}.
  • Essa desigualdade é equivalente (multiplicando por n(1+\ln n)>0) a
n \ge 1+\ln(n).
  • Considere a função g(x)=x-\ln(x) definida para x>0. Sua derivada é g'(x)=1-\dfrac{1}{x}.
  • Para x>1 tem-se g'(x)>0, logo g é crescente em (1,\infty).
  • Avaliando em x=2: g(2)=2-\ln(2)>2-1=1, portanto g(2)>1.
  • Como g é crescente para x\ge2, para todo inteiro n\ge2 vale g(n)\ge g(2)>1, ou seja,
n-\ln(n)>1 \quad\Rightarrow\quad n>1+\ln(n).
  • Assim para todo n\ge2 temos n>1+\ln(n), o que implica
\frac{1}{1+\ln(n)}>\frac{1}{n}.
Portanto, a_n>\,b_n para todo n\ge2.

Passo 5

Aplicação do teste da comparação direta:
  • Já que para todo n\ge2 0<\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{1+\ln(n)} e sabemos que \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), pela comparação direta concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{1+\ln(n)}
também diverge.

Passo 6

Comentário final e interpretação intuitiva:
  • Intuitivamente, \ln(n) cresce muito devagar em relação a n, então \dfrac{1}{1+\ln(n)} não decai rápido o suficiente para produzir soma finita; na verdade, seus termos são maiores que os termos da harmônica, que já diverge.
  • Fica a dica: quando aparecerem termos com \ln(n) no denominador, comparar com 1/n costuma ser uma boa primeira tentativa.

Resposta

A série diverge.

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