Use o teste da comparação ou o teste da comparação no limite, para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o teste da comparação (direta) ou o teste da comparação no limite. Vou listar claramente o que sabemos:
- O termo geral é
para . - O objetivo é decidir convergência ou divergência da série
aplicando um dos testes de comparação indicados.
Passo 2
Vou explicar rapidamente os testes que vou usar (de forma didática e sem pular etapas).
Teste da comparação direta (forma útil aqui):
- Se
para todo suficientemente grande e diverge, então também diverge. - Intuição: se os termos
são maiores do que os termos de uma série que já diverge, então somá-los não pode dar uma soma finita.
Teste da comparação no limite:
- Se
, e com , então e têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem). - Intuição: se os termos têm razão limite finita e não nula, eles são do mesmo “tamanho assintótico”.
Vou preferir o teste de comparação direta neste problema, comparando com a série harmônica
, que é conhecida por divergir.
Passo 3
Escolha do comparador e justificativa:
- Tomar
. A série (série harmônica, começando em ) é divergente — por exemplo, pelo teste integral: . - Se eu mostrar que, para todo
, vale
então, por comparação direta com a série harmônica divergente, concluo que a série dada diverge.
Passo 4
Provar a desigualdade entre os termos:
- Parto de
. - Essa desigualdade é equivalente (multiplicando por
) a
- Considere a função
definida para . Sua derivada é . - Para
tem-se , logo é crescente em . - Avaliando em
: , portanto . - Como
é crescente para , para todo inteiro vale , ou seja,
- Assim para todo
temos , o que implica
Portanto,
para todo
.
Passo 5
Aplicação do teste da comparação direta:
- Já que para todo
e sabemos que diverge (série harmônica), pela comparação direta concluímos que
também diverge.
Passo 6
Comentário final e interpretação intuitiva:
- Intuitivamente,
cresce muito devagar em relação a , então não decai rápido o suficiente para produzir soma finita; na verdade, seus termos são maiores que os termos da harmônica, que já diverge. - Fica a dica: quando aparecerem termos com
no denominador, comparar com costuma ser uma boa primeira tentativa.
Resposta
A série diverge.