Use o teste da comparação para verificar a convergência ou não:
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o teste da comparação, se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é comparar o termo geral com uma série geométrica convergente.
Passo 2
Aplicamos a desigualdade de média aritmética–geométrica (AM–GM) aos fatores de
:
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
Passo 3
Com isso podemos majorar o termo geral da série:
Passo 4
Para
vale
, logo
e dessa forma, para todo
,
Passo 5
Como
é uma série geométrica de razão
e convergente, e para
temos
pelo teste da comparação direta a série
também converge.
Resposta
A série
converge por comparação com a série geométrica de razão
.