Use o teste da comparação para verificar a convergência ou não:

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o teste da comparação, se a série
sumk=1^infty k!k^k
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é comparar o termo geral com uma série geométrica convergente.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade de média aritmética–geométrica (AM–GM) aos fatores de k!:
(1cdot 2cdot 3cdots k)^1/k<= 1+2+3+cdots +kk = k+12
Elevando ambos os lados à potência k, obtemos
k! = 1cdot2cdotcdotscdot k <= l(tfrack+12r)^k

Passo 3

Com isso podemos majorar o termo geral da série:
k!k^k <= l(tfrack+12r)^kk^k = l(k+12kr)^k = l(tfrac12 + tfrac12kr)^k

Passo 4

Para k>=2 vale tfrac12k<=tfrac14, logo
tfrac12 + tfrac12k<= tfrac12 + tfrac14 = tfrac34,
e dessa forma, para todo k>=2,
k!k^k<= l(tfrac34r)^k

Passo 5

Como sum (tfrac34)^k é uma série geométrica de razão tfrac34<1 e convergente, e para k>=2 temos
0 <= k!k^k<= l(tfrac34r)^k,
pelo teste da comparação direta a série sumk=1^infty k!k^k também converge.

Resposta

A série sumk=1^inftyk!k^k converge por comparação com a série geométrica de razão tfrac34.

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