Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{3}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes: definimos uma função
contínua, positiva e decrescente em
de modo que
seja o termo geral da série. Se
converge, então a série também converge; se diverge, a série diverge.
Passo 2
Definimos
Verificamos que
é positiva e contínua para
. Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
logo
é decrescente.
Passo 3
Agora avaliamos a integral imprópria:
Fazemos a substituição
, então
e quando
vem
, quando
vem
. Assim
Esse valor é finito, logo a integral converge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, como
converge, a série
também converge.
Resposta
A série é convergente.