Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{3}}.
O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes: definimos uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,\infty) de modo que f(n) seja o termo geral da série. Se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge, então a série também converge; se diverge, a série diverge.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{1}{(2x+1)^{3}},\quad x\ge1.
Verificamos que f é positiva e contínua para x\ge1. Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x) = -3\cdot\frac{2}{(2x+1)^{4}} = -\frac{6}{(2x+1)^{4}}<0\quad\text{em }[1,\infty),
logo f é decrescente.

Passo 3

Agora avaliamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(2x+1)^{3}}.
Fazemos a substituição u=2x+1, então du=2\,dx e quando x=1 vem u=3, quando x\to\infty vem u\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(2x+1)^{3}} = \frac{1}{2}\int_{3}^{\infty}u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{-2}}{-2}\right]_{3}^{\infty} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{36}.
Esse valor é finito, logo a integral converge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, como
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
converge, a série
\sum_{n=1}^{\infty}f(n) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{3}}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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