Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 13 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série sumn=1^infty 13n+1 converge ou diverge. Para isso, vamos precisar saber como aplicar o teste e calcular uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série sumn=1^infty an com an positivos, contínuos e decrescentes, então a série converge se e somente se a integral integral1^infty a(x) , dx converge, onde a(x) é a função contínua que corresponde a an.

Passo 3

No nosso caso, a função da série é an = 13n+1. Vamos transformar isso em uma função contínua: a(x) = 13x+1. Precisamos ver se a integral integral1^infty 13x+1 , dx converge ou diverge.

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de 13x+1 em relação a x é:
integral 13x+1 , dx = 13 ln|3x+1| + C

Passo 5

Vamos avaliar os limites da integral imprópria:
integral1^infty 13x+1 , dx = limb to infty [ 13 ln(3b+1) - 13 ln(4) ]

Passo 6

Observando o limite, quando b vai para o infinito, ln(3b+1) também vai para o infinito. Portanto:
limb to infty 13 ln(3b+1) = infty
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

Como a integral integral1^infty 13x+1 , dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty 13n+1 também diverge.

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