Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar saber como aplicar o teste e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série
com
positivos, contínuos e decrescentes, então a série converge se e somente se a integral
converge, onde
é a função contínua que corresponde a
.
Passo 3
No nosso caso, a função da série é
. Vamos transformar isso em uma função contínua:
. Precisamos ver se a integral
converge ou diverge.
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Passo 5
Vamos avaliar os limites da integral imprópria:
Passo 6
Observando o limite, quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Portanto:
Isso significa que a integral diverge.
Resposta
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.