Utilizando o método de integração por partes, calcular as seguintes integrais:
integral x^2 sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2sin x,dx
usando o método de integração por partes.
A ideia é usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo funções u e dv de modo a simplificar a integral restante.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = sin x,dx
Então
du = 2x,dx, v = integral sin x,dx = -cos x
Aplicando integração por partes:
integral x^2sin x,dx = u,v - integral v,du = -x^2cos x - integral l(-cos xr),2x,dx = -x^2cos x + 2integral xcos x,dx

Passo 3

Agora calculamos
integral xcos x,dx
por partes de novo, com
u = x, dv = cos x,dx
resultando em
du = dx, v = integral cos x,dx = sin x
Logo
integral xcos x,dx = u,v - integral v,du = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x
Multiplicando por 2:
2integral xcos x,dx = 2l(xsin x + cos xr) = 2xsin x + 2cos x

Passo 4

Substituindo de volta em (2):
integral x^2sin x,dx = -x^2cos x + l(2xsin x + 2cos xr) + C

Resposta

integral x^2sin x,dx = -x^2cos x + 2xsin x + 2cos x + C

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