Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência da série.
sumn=0^infty n^2 2^n+13^n.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=0^infty n^2 2^n+13^n converge ou diverge usando o Teste da Razão. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência de uma série infinita observando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an na nossa série:
an = n^2 2^n+13^n = 2n^2 (23)^n
Agora, vamos calcular o quociente an+1an:
an+1an = 2(n+1)^2 (23)^n+12n^2 (23)^n = (n+1)^2n^2 cdot 23

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot 23 = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) cdot 23 = 1 cdot 23 = 23

Resposta

Como L = 23 e 23 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série sumn=0^infty n^2 2^n+13^n converge.

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